DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONVERGENZGRENZE. 441 
Es sei etwa angesetzt 
+ g) ■ rp?, + /3). r(a + 7 ) . 
JK^} ^0 ^ 4. e). r Oi 4 - o 
Alsdann geniigt f{x) ofFenbar einer homogenen linearen DifFerentialgleichiing mit 
rationalen Coefficienten. Der Punkt x = 1 ist ein singularer Punkt derselben. Fragt 
man nach der Fortsetziing des Integrals f{x) beim Pnnkte x = 1, so liisst die 
Fnchssche Theorie nocb die Frao-e nach dein Werte einio-er Coefficienten often, die 
O e5 
gerade dnrch Siitze 1 iind III in befriedigender Weise gelost wird. 
Oder sei angesetzt 
f{x) = 
und fragen wir nach dem asymptotiscben Verhalten der Function, wenn x sich 
geradlinig vom Nullpunkt einem Pnnkte _/ des Convergenzkreises nilhert. 1st = 1, 
so sagt uns Satz II obne weiteres, dass 
lim f{x) . y/1 — X = r(3/2). 
Ist j/’ = — 1, so setzen wir x ~ — x' und lassen x'sich der positiven Einheit nidrern. 
Es ist dann 
F(.F) =/(- x) = 
p -- " + .r' + , . . + x'^'"'), also 
So"(4» + 
Nach Satz II ist aber 
und ebenso 
Daher ist 
lim (1 — x) . S {4:)i + 1) . x'*"' = p 
lim (1 — rC) . (4n -f- 1) . 
x' = 1 
lim/(x) = 
Es sei ) — und t — ajb eine rationale Zabl, insbesondere h eine ungerade 
Primzabl. Alsdann ftlhrt ein Verfahren zum Ziel, welches wir fiir den besonderen 
Fall 6 = 5, « = 1 durchfubren werden. Wir setzen wiederum 
X = j . X 
und lassen x' sich positiv wachsend der Einheit nahern. Es ist identisch 
j\x) = 
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VOL. CXCVI.-A. 
