DE. E. LASKER UBEE REIHEN AUF DEE CONVEEGENZGEENZE. 
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wo nun rj, ^ S die aiif e folgendeji Werte der obigen Zahlenreihe l^edeuten. 
Dabei ist der Logaritme so oft iteriert als der Platz des dazugehorigen Buclistaben 
(e, 7], ^ .. . S) in der Zahlenreihe a, /3, y . . . S anzeigt, wobei von a mit 0 zu 
ziihlen angefangen wird. 
12 . Aus dem Satze V kann man leicht Folgerungen ziehen, welche fiir die Theorie 
der ganzen (transcendenten) Fnnctionen niclit obne Interesse sind. Einzelne, dock 
nicht alle, der folgenden Eesultate sind anticipiert von verschiedenen Autoren, 
haipAsacblich Lagueree, Poincare, FTadamard, Borel, von Schafer. Man findet 
eine sebr eingehende Bespreclinng der Literatur des Gegenstandes in Borer’s ‘ Lecons 
snr la Theorie des Fonctions entieres,’ 1900. 
Es sei 7\, Co . . . r„ . . . eine Folge immerfort wachsender positiver Grossen, 
derart dass lim 7\ = co . Hat die Reihe 
einen inneren Convergenzbereich, so werden wir sagen, dass die Folge zur Bonnet- 
schen Classe 1 gehort. Hat diese Pteibe keinen Convergenzbereich, jedoch die andere 
so ffehort die Folg-e zur Bonnetschen Classe 2. Hat aucb diese Reihe keinen Con- 
vergenzbereicb, jedoch 
so gehort die Folge zur Bonnetschen Classe 3, u. s. f. 
Die Reihen convergieren nur fiir complexe AAerte von x, deren reeller Teil negativ 
ist. Die reelle Convergenzgrenze der Reihe rp + R/ + • . . hat von Schafer 
Converge7izexponent, Borer Ordnung, genannt. Wir wollen heide Namen henutzen. 
Es sei a,, . . . a,, . . . eine Folge complexer Zahlen, deren Moduln |a„| = 7-„ 
immerfort wachsen, so dass lim r„ = co . Alsdann kann man beliebig viele gauze 
H = CO 
Fnnctionen bilden, die nur in den «/, und zwar dort einfach, verschwinden. 
Dazu kann man die Metode von Weierstrass henutzen, oder auch wie folgt 
verfahren. Man bestimmt irgend eine Folge ganzer Fnnctionen von x 
9\ 9z{^) . . . 9n{x) . . . 
^ ■» (hi (R ) 
(hi {<-!,,) ■ n-H 
derart, dass 
fiir jeden Wert von x ahsolut und gleichmitssig convergiert, und setzt dann 
G (r*) _ ^00 fjn 
C(D ■ {X — CCn)' 
Diese Differentialgleichung deliniert offenbar eine ganze Function G (x), welche die 
gestellte Forderung erfiillt. Das Integral der Gleichung erluilt man in der Form 
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VOR. CXCVI. —A. 
