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DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER COXYERGENZGRENZE. 
demi dieses Product ist absoliit und gleichmassig convergent. Das letztere zeigt sich 
sehr leicht wie folgt. Da ^ 
® <Jn (««; • «« 
Wert von x convergiert, so auch 
absolut und gleichmassig fUr jeden endlicben 
gn (ab 
(Jn (a„) . D - On) 
mit Ausnabme der Pole. Ist .Tq ein gegebener Wert und B irgend ein endlicber 
gegebener Bereicb, der 0 und Xq einschliesst, ist ferner eine kleine Zahl S vorgegeben, 
so konnen wir eiiien Index rn' bestimmen, so dass 
+ ^5 
gn (-r) I 
gn {On) {x - 0„) i 
<S, 
wie gross auch sei, wenn nur x in B gelegen ist und m ^ m' ist. 
Somit ist 
+ 2^ 
gn (x) 
0 gni^On) . {X 0,i) 
dx 
<S.\xq 
Diese LTngleichung scbliesst aber die absolute und gleicbmassige Convergenz des 
obigen Productes in sich ein. 
Wenn nun die {x) . . . g^ (x) ... in ZAveckmiissiger Weise gewalilt sind, so 
erbalten wir gauze Functionen G (x), welche inannigfache interessante und wichtige 
Pligenschaften besitzen. 
1 3. Ein Satz von ScHOU (‘ Comptes Ilendus,’ t. CXXY, p. 763) besagt folgendes : Ist 
der Modul einer ganzen Function G {x), wenn jX[ = r ist, kleiner als so ist die 
Anzabl N der Wurzeln von G (.r) = 0, deren Modul kleiner ist als r 
V (g . r 
log (.s — 1) 
wo 5 irgend eine Zald grosser als '2 bedeutet."'" 
o o 
Ist V (v) = r fur irgend einen endlicben Wert von a, so beisst G {x) nach Lagueere 
eine gauze Function eines endlicben genre und nach Y. Sohaeee eine Hadamardscbe 
Function. Ist V (r) = e’’", so \vollen wur G (x) eine Borelsche Function 2'^'' Classe 
nennen. Ist V (r) = , so beisse G (.r) eine Borelsclie Function dritter Classe, u. s. f 
Die Moduln der Wurzeln einer Borelschen Function Classe bilden eine Folge, die 
zur /d®'‘ Bonuetsclien Classe gebort, vue sich aus der Ungleicbung von Schou ergiebt. 
Man braucht iiur < r mit der ol)igen Ungleicbung zu verbinden, um dies sofort 
einzusehen. 
* Man konnte uuschwer den Schouschen Satz wie folgt priicisieren : Es sei 4' (•'') eine Potenzreibe, 
deren Convergenzradius = />, r irgend eine positive Zahl < p, K die Anzahl der Win-zeln von 41 p) = 0) 
deren i\Iodul ^r, M tj-'c der Maximalwert von 41 (.r) fiir |;r| = r, -s eine Zahl grosser als 1 und kleiner als 6-; 
alsdann gilt N. log < log hi 41s. y, wiilirend der Schousche Satz nur besagt N. log (s) < log hi 4' (s + i, >', 
also /■ nicht gestattet, iiber die Halfte von p hinauszugehen. 
