DR. K. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONYERGENZGRENZE. 
459 
bleibt. Voraiissetzung ist niir, dass die Gerade nicht mit der positiveii Axe coincidiert 
(oder ihr parallel laufend in demselben Siiine ins oo geht). 
Audi Grenzilbergange anderer Art lassen sich durcli obige Ungleichungen durch- 
fiihren. Fiir die Zwecke dieser Arbeit ist die genaue Aiisfuhrung dei- angeregten 
Untersuchungen irrelevant, und wir wollen daber nur noch einige Worte liber die 
Borelsdien Functionen, deren Wurzeln einen Bonnetschen Typus bilden, zufugen. 
Die Function f{x) babe die Wurzeln = (log 
Ist /X eine rationale Zabl, = so setzen wir, wenn p die kleinste gauze in p, 
entbaltene Zabl und p die Einheitswurzel bezeiclinet. 
die eventuell auftretenden negativen Potenzen von x vernachlassigend. Die ganze 
Function H(a;) ist dann otfenbar der Art, dass diverniert, aber — 
convergiert. 
/(■D ^ HP-) 
f{x) H(«„) . X — a 
deliniert eine Borelsche Function f[x), denn es liisst sich leiclit zeigen (in der Art 
wie es am Elide des 2“^^" Capitels ausgefiihrt wird), dass der Maxinialwert von f (x), 
b 
wenn \x\ = r, < 
fix) 
wo c eine ano'ebbare Constante. .,-7—;——- 
^ H(D./(D 
ist eine der Beiheii, 
wie sie ini Satze V untersuclit worden sind, wenn man x negativ wiililt. 
diesen Fall kann man aucli ganz leiclit den Calclll C anwenden. 
Ist p keine rationale Zabl, aber > 1, so setzen ivir 
Fiir 
H (x) = xpA- 
Nacli den asymptotisclien Bezieliungen, welclie fiir (— x) entwickelt waren, 
diverniert ;-, aber Sf , — converciert. Im libiifi’en behalten die 
obigeii Benierkungen ibre Giiltigkeit. 
Audi wenn /x < 1, kann man alinlicli verfaliren, indem man H(a;) =\jj^[p.x) 
setzt, wo |p|= 1, im iibrigen eine passend gewiililte Grosse, und xfj^^x) die lY zu 
Niillpunkten hat, so dass ^ = W-i)^ (Z; — 1) p < 1 < k . p. 
Man kann ganz genau so zu Borelsdien Functionen liolierer Classe aufsteigen. 
Die so gebildeten ganzen Functionen sind interessant, weil sie mancherlei Bezieliungen 
ziir Theorie der algebraisclien Difterentialgleicliungen mit rationale!! Coefficienten 
liaben, wie aucli zu ganzen Functionen, die durch bestimmte Integrale entstelien 
(nach Art der Inversen der R-Function oder der Bieniannsdien Primzalil-Function). Sie 
3 N 2 
