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DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONVERDENZGRENZE. 
eine geordnete Foltje, so kaiiii man =-^- setzeii, was lim n . loc: n . loa; 
^ ^ ' a„.n. log n = ^ ^ 
log n . a,, — 0 ergiebt, n. s. f. 
Es sei Him ?’o . . . . . . eine Folge immerfort Avaclisender positiver Gi'ossen, 
deren Grenzwert = oo. Die Folge gehore zuv /d"" Bonnetscben Glasse, es sei also 
(d) Sr . (logn)“^. (log log n)~^ . . . (log log . . . 4 — 1 mal {n) )~^. r~^ Ibv endliche 
positive Werte von X convei'gent. 1st dann a der Grenzpnnkt der Convergenz 
(der Convergenzexponent Glasse, oder die Ordnimg 4'®*' Glasse) nnd die Ideilie in 
X = (T noch convergent, so haben wir, wenn wir . (log setzen, 
da die Folge der wie der n . a,„ wie anch der n . log n . . . . nnd scbliesslicli 
der n . log n . . . log log (4 — 1 ) mal n . eine monoton abnebmende ist, 
lim log log . . . li mal [n). = 0 . 
?i = CO 
Dies liisst sich auch schreiben 
1 
r,, > Tj . (log log ... 4 mal {n) f, 
wo n einen niir von 17 abhangigen Index iibersteigt. Divergiert die lieihe (6) in X=(t, 
so ersetzen wir cr durcli or + e, wo e l)eliebig kleiii ; die Schlnssfolgeriing bleibt danu 
erhalten. 
Oftenbar ist a der kleinste Wert, fiir welchen eine solche Ungleicliimg besteben 
kann. 
19. Die Betrachtiingeii dieses ersten Gapitels waren in ihrer Mehrbeit derart, 
dass sie mebr oder weniger interessante Ergebnisse liefern, ohne aber zu einer 
allgemeinen Theorie zu fuliren. Wie man leiclit die bier angefiibrten Beispiele, in 
denen die discutierten Metoden frucbtbar sind, noch bedentend erweitern kann, so 
ist es auf der anderen Seite leicht, Beispiele von Functionen zu bilden, zu welchen 
die hier angeflilirten Siitze nur in einer sehr loseii Bezieliung stehen. Zu einer 
Vertiefung der Metoden gelangt man erst durch Einfilhrung eines neuen Begriffes. 
Dieser Begrilf wird seine Definition und Erlauterung in den nachfolgenden Seiten 
finden. 
CAPITEL 2. 
1 . Es sei + . . . + + . . . eine convergente Summe, welche eine 
Function einer complexeii Variabelen x definiere. Innerhalb eines Bereiches B hal)e 
die singularen Punkte a,,, Die a,,, mogen in ihrer Gesammtheit eine Folge 
bilden, welche den einen Grenzjjunkt a zuliisst.. In a sei jede der ui regular und 
habe dort den Wert 0. Verlangt ist, die Bedingungen aufzustellen, denen eine 
in B verlaufende und in a mtindende Curve 6 gentigen muss, damit der Wert der 
Summe 2 )^ Ui bei Aunaherung auf (§, an x =a die 0 zur Greuze habe. 
