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DR. E. LASKER USER REIHEN AUF DER COKVERGENZGREXZE. 
Dies Problem fuhrt ziir Betrachtuiig gewisser Bereiche, welche wie folgt con- 
stiiiiert sind. In eliien einfach zusammenhangenden Bereich B werden unendlich 
viele Lbcher Li, L,, . . . L,, . . . gebohrt. Jedes Loch stelle eineri einfach 
zusammenhangenden Bereich dar. Keines der L, schliesse den Pimkt a ein, mit 
wachsendem n komme L„ aber dem Punkte a beliebig nalie. Der so hergestellte 
Bereich L werde asymptotischer Bereich inn den Pimkt a genannt. Die Gesammt- 
heit der Bereiche heisse der asymptotische Nichtbereich inn ci. 
Im folgenden werden wir das oben angegebene Problem nicht in seiner Allgemein- 
heit angreifen, wir weixlen jedoch besondere Falle von genhgender Wichtigkeit imd 
Ausdehmmg in Angriff nehmen. Es wird sich zeigen, dass die Curve C der 
Bedingimg geniigen muss, innerhalb eiues asymptotischen Bereiches zii verlaufen, 
(lessen asymptotischer Nichtbereich die a,„ einschliesst. Die Ausdehnung der 
Lbcher L^ wird dabei nicht gleicligiiltig sein, sondern wird erst (lurch bestmunte 
Verfahrimgsarten festzustellen sein. 
Ohne von vornherein die Begriffe zu sehr complicieren zu wollen, werden wir doch 
noch zwei Bedingungen erwahnen, welchen die asymptotischen Bereiche geniigen sollen. 
Schlagt man inu a mit einem sehr kleinen Radius p einen Kreis, so muss die Summe 
des Flacheninhalts aller in diesem Kreise liegenden Lbcher L^ im Verhilltnis zum 
Flacheninhalt des Kreises mit p beliebig • klein werden. Und ferner muss eine 
Contour C um a innerhallj des asymptotischen Bereiches mbglich sein, deren 
Maximalabstand von a kleiner als hp, deren Minimalabstand von a grbsser als kp 
ist, wo h, k zwei beliebig vorgegebene Grbssen kleiner als 1. 
Es geht hieraus hervor, dass eine endliche Anzahl asymptotischer Bereiche um a 
einen asymptotischen Bereich um a gemein haben. 
2 . Im folgenden nehmen wir an, dass der Punkt a im Unendlichen liege, con- 
struieren liir eine besondere Gattung von Reihen ST Ua den oben erwahnten 
asymptotischen Bereich, und zeigen seine Bedeutung flir die Characterisierung der 
durch Sr definierten Function. 
T-i • 1 1 . T I Un I • I fC/ I / T-v 
Es sei Un =- . Sv—r sei convergent und ^ sei > — r , wenii u> n . Der 
X — \a,i\ ° n — n 
asymptotische Bereich, in welchem — fiir lim x = cc sich der 0 niihert, wird 
X — (Cfi 
dann ivie folgt construiert. Wir schlagen um als Centrum einen Kreis L„ mit 
dem Radius U;,. lim r„, sei = co , jedoch lim - - =0. Die Gesammtheit der 
n = n= CO 
Ki ■eise L„ bildet den asymptotischen Nichtbereich. 
Dies ergiebt sich leicht aus den Voraussetzungeii. Es sei 
/(^•) = sr- 
1 
I/(■'») I = -r-r: 
X - 
1 
G’ — I' 
alsdann ist 
