DR. E. LASKER UBER REIHEN AUE DER COKVERGENZGRENZE. 
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Audi ist 
lim 
X=- 
jr'jx) 
i> (®) 
= 0 . 
Mithin 
= dajaOoiO. 
Ein Satz, der, wie es scheint, von Hermite imd Hurwitz unabhiingig von einander 
aufgefunden wurde, besagt folgendes : Ist innerhalb eines einfach zusaminen- 
hiingenden Bereiches B eine Function u eindeutig und ohne wesentliche Singulari- 
tiiten, und ist auf dem Bande von B liberall |'?<| < 1, so nimmt innerhalb B genau 
so oft den Wert 1 an als die Function dort den Wert co annimmt. Der Beweis ruht 
r(R) (^11 
darauf, dass I = 0, da bei Beschreibung des Bandes B, wegen |w| < 1, 1 — u 
eine Contour beschreibt, die den Punkt u — 0 ausschliesst. 
Wir beschreiben nun um jeden der Kreise eine Contour C„, die innerhalb des 
Bereiches L liegt. Wiililen wir n genugend gross, so ist wegen 
auf C„ 
Somit hat die Gleichung 
lim = 0 
n = 00 ^ 
■v^ [x) Cq . (f) (x) g 
^ (ir) — Cq ■ (/) (x) 
(f) (x} 
innerhalb C„ genau so viel Wurzeln, als die linke Seite dort den Wert oo annimmt, 
d. h. genau eine. Die Wurzeln von liegen daher im Nichtbereich von L, und 
zwar je eine ihrer Wurzeln in L„, sobald n einen angebbaren Wert c ubersteigt, der 
nur von den Werten Cq, c^, . . . c„, . . . abhangig ist. Es ist danach \}j{x) 
oflfenbar eine Function des genre 0, denn die Moglichkeit der Existenz eines storenden 
Factor der Form ist nach den entwickelten Ungleichungen uberhaupt aus- 
geschlossen. 
4. Wir werden jetzt daran gehen, den allgemeineren Satz zu erweisen, den wir den 
Satz S nennen wollen. 
SatzS; Ist/(x) = Sr 
^ ' X — a,I 
dass 
wo die G; und der Bedingung B unterworfen sind. 
1 ) 
2 ) 
3) 
Sr - absolut convergiert, 
(til 
1 cc,, I s I a,^ I wenn n = n, 
lim = CO , 
so giebt es einen asymptotischen Bereich, in welchem 
lim f[x) — 0. 
