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DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONVERGENZGRENZE. 
Ahnlich ist 
+ 1 
C« 
^m + \ 
7^ 
+ 
('m+2 
a 
vn+2 
— <*)/;+! + V ' ■ ^11 
+ 
l^M + S 
^m+3 
m+J 
+ V' • ^n. 
+ 
und 
7 . S 
Cji 
/)l + 1 
Un - X 
< 
^/rt+1 
^m+l 
— Cln 
+ 
^}rt4-2 
^M+2 
— a.. 
+ 
^M+3 
^m+s 
“1~ • • • — 
Wenn es Indices m giebt, fiir welche pm und q„, kleiner wird als eine beliebig vorge- 
gebene Grosse, so wird es auch eine Folge liber alle Grenzen wachsender Grossen |a:| 
geben, fiii’ welche f (x) kleiner als eine beliebig vorgegebene Grosse wird. 
p„, war = - - - — 
0 ^m—A 
und q„ = X" 
^m+A 
Wenn > 2 . a,„ wird, so ist 
% 
^ IJ 
h' — a,, 
<2.X[ 
h' 
und diese Summe wird fiir genligend grosse m kleiner als eine beliebig vorgegebene 
Grosse, da nach Voraussetzung die Summe .4^ — convergiert. Somit setzen wir 
+ A 
^ HI + A ■ 
wo ii definiert ist als der kleinste Index, fur den a,n^h und stellen mis 
nun die Aufgabe, zu erweisen, dass die 0 einer der Grenzpunkte der Folge q,,! 
ist. Der Beweis ist moglich nach der bier befolgten Metode. 
Zunachst machen ivir eine Voraussetzung V liber die Folge der a„, welche aber die 
Allgemeinlieit in keiner Weise einschrankt. Wir nebmen an, dass + i — a„ 
kleiner sei als eine Constante e, und dass lim — a„ = 0. Trifft fiir die that- 
n= <x> 
sacblicb gegebene Folge diese Voraussetzung nicht zu, so steht es uns frei, der 
Function f{x) soviel Glieder der Form-zuzusetzen, dass fiir die so condensierte 
X cc 
Folge der a die Vpraussetzung zutrifft. Die c der Zusatzglieder wilhlen wir sammt- 
licb = 0, oder, wenn wir wollen, von 0 verschieden und so klein, dass die Summe 
c » 
% - iminer noch convergiert. Ist fur die erweiterte Function der zu beweisende 
a ^ 
Satz richtig, so ist er es auch gewiss ^11*7(0:). 
Wir definieren nun vier Functionen einer reellen positiven Variabelen f durch die 
Gleichungen 
A (f) = Sr {cin+i — «„) , 
B(^) =Sr 
C (£) = t" p„ . — a,) . , 
D (^) = Sr q,! (««+i — a.,) . . 
