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DE. E. LASKER UBER REIHEX AUF DER CONVERGEXZGREXZE. 
1) Das Maximum von |G(a;)| auf jenem Kreise ist < e-“ ; 
2) Das Minimum von j G (.x) | auf jenem Kreise ist > 
da ja log 
G I 
> 
log 
ist. 
Ferner folgt noch : Das AVachstum des imaginaren Teiles von log G(x), v’enn x 
von .Xj nach Xo sich continnierlich auf jenem Kreise bewegt, ist an absolutem M'erte 
< C. r.S. M(r). 
6. Ist insbesondere G (x) eine Function des genre I, so ist g,i (x) = af, und es ergiebt 
sich daher aus 5 Satz : Ist G (x) eine Function des genre /, so kann man eine 
Folge von Kreisen Cj, C9, C,-, . . . . . . um den NulljDunkt mit den Fvadien Pi,, 
Ro . . . R;, . . . bestimmen, derart dass tiir Punkte x auf C,, 
iG(x)| > 
Avenn nur n geniigend gross gewiililt wird, wie klein die vorgegebene positive Zahl 8 
auch sei. 
In Hadamatid’s beruhmten preisgekrdnten Abhandlung sjjielt ein Satz der obigen 
Art eine sehr wichtige Rolle. Ist p nach Borel die Ordnung von G (x), so ist znfolge 
des Satzes von Hadamard eine Folo’e von Kreisen obio-er Art moolich, auf der die 
Ungleichung besteht 
|G{x)l > 
wo e eine beliebig kleine positive von 0 verschiedene Grosse bedentet. Ist p keine 
gauze Zahl, so ist p < / + 1 und somit geht der Satz von Hadamard dann weiter 
als der obige. Ist umgekehrt p = / -|- 1, so ist der bier ansgesprochene Satz der 
weitergehende. 
Der Hadamardsche Satz liisst sich ubrigens unschwer aus Satz S ableiten. Es sei 
Sr I I convergent, / ^ X /+ 1 . /+ 1 — \ setzen wir = cr. Dann ist in einem 
asymptotischen Bereiche L, 
wenn wieder = /’{*) = -r gesetzt ist, 
P . G(.- ) ^ ^ a.J{x - «„) ^ 
lim .x" . f{x) = 0. 
Es ist niimlich 
Ist 
I • f{^) I < -r 
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Das Glied 
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