DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONVEIKIENZGRENZE. 
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was nach Satz S flir geeigiiete Lagen von x in den ausgezeichneten Intervallen von 
O' —I 
— 1 
-— kleiner wird als jede beliebig vorgegebene Grosse. Andererseits ist 
da 
kleiner als 
1 \ 
1 «« 1 
' aj{\x\ - \a„\) 
— ^ 
( 1 1 1 1 ) 
\x\ — \a„\ 
1 1 ■ 
wenn |a3| 
m a . 
1 «« 1 ^ 
Hier ist m' irgend eine Zahl kleiner als m. Die letztere Sumine ist ein Teil einer 
coiivergenten Siimme, ist daher llir geniigend grosse Werte von m', die im Vergleich 
zu m aber noch sehr klein sein kdiinen, beliebig klein. Die Snmme 
1««1 
(| a '| - |«„|) 
aber ist aiigenscheiulich, wenn 
wegen 
m ini Vergleich zu 'Ui sehr gross genommen wird, 
l^l >(«;«) 
beliebig klein zu machen. 
Somit ist nachgewiesen, dass ein asyinptotischer Bereich L existiert, innerhalb 
dessen 
lim f{x) = 0, 
T = GO 
und da f [x) — q erhalten wir durch die bereits angewandte Integration 
den Satz von Hadamard. Das obige Verlahren eiuveitert den Satz von HxVDAMARD 
noch in soweit, dass es auch noch die Folgerung G{x) > zuliisst, wenn 
2 I c(,i I noch convergiert, 
wo, wie friiher, p den Convergenzexponent der Folge jr^j bedeutet. 
Der obige Beweis des Hadamardschen Satzes lasst sich librigens unschwer nach 
verschiedenen Seiten hin zu einer Erweiterung; des Satzes S benutzen. Doch ist es 
fiir den Augenblick unnotig, darauf iiither einzugehen. 
7. Man kbnnte die oben entwickelten Ungleichungen benutzen, uin, dem schonen 
Ideengange der Hadamardschen und Borelschen Untersuchungen folgend, eine 
Theorie der ganzen Functionen aufzustellen. Es wilrde sich dabei empfehlen, den 
BegrifF einer Gattung von ganzen Functionen einzufiihren, wobei ein und derselben 
Gattung alle diejenigen Functionen angehbren wllrden, deren {x) . . . g,, (x) . . . 
gegeben ist. Adoptiert man den Borelschen Standpunkt, dem derselbe bereits in 
seiner, in der ‘ Acta Mathematica,’ 1896, erschienenen Abhandlung Ausdruck verliehen 
hat, so wiirde man 
g„{x) = 
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