DR. E. LASKER USER REIHEK AUF DER COKVERGENZGRENZE. 
477 
v,i{z) ist also das iiber die beiden Kreise C;„ 0/,+^ erstreckte Integral von 
fix) 
——— --c/a;, dividiert durch 27rb Dalier ist ( 2 :) eine eindeutige Function von 
('-i/ CCj\JX^- ““ X) 
z, welche nur von der Art der Singularitaten von / (a;), die zwischen C;, und 
gelegen sind, bestimmt ist. Odenbar ist wegen 
bin f\x) — 0 
x = a 
auch lim = 0, 
/I = » 
mithin 2^” {z) convergent fiir jede Lage von 2 in Cj^. 
2 ; rticke ZAAdsclien und 0,;;+^ Alsdann ist I;„ {z) — ( 2 ) nicht mehr = 'V„i ( 2 ), 
sondern, da a; = 2 einen Pol von--- bildet, 
{X - a) i,x - z) 
oflenbar 
kommt 
mithin 
m 
a 
+ v,,,{z). Aus lim p = 0 
(Ii “ I 2 ) + (F - 1 ,) + (I 3 - I,) + 
s: Mz) = Ai: +1.. 
z — a 
ist nun augenscbeinlich eine eindeutige Function von 2 , welche tur AfA Lage von 2 
innerhalb endlich ist. Mithin ist in eine Potenzreihe nach aufsteigenden 
Potenzen von z — a entwickelbar, welche in convergiert. Setzen wir nun 
^^2 _«)=-(,- a)I,(.) 
und u,,{z) = {z — a)v,{z), 
so ist der Satz U verihciert. 
Aus Satz U folgt z. B. ;—Liegen in deni asymptotischen Bereich L keine Singulari¬ 
taten von/‘(a:), so ist /'(a?) in L und dem Nichtbereicli von L regular, und es ist 
liberhaupt lim f {x) = 0, Oder auch: Hat f {x) in L keine wesentlichen Singulari- 
taten, sondern nur Pole a.^ . . . , «« .... und ist in 
O' 
regular, so ist identisch 
f{x) — ly (2 — a) 
n 
+ 
^2) J 
(2 — «,d" 
o + • • • + 
^h> n 
(2 - 
- ^5 (2 - a ). 
Dabei ist die Summe ... . flir jeden Wert von 2 convergent, doch nicht absolut, 
sondern bedingt. Man muss, um die Convergenz der Summe zu sichern, immer 
diejenigen Terme zusammenfassen, welche den singularen Punkten cii entsprechen, die 
gemeinsam zwischen 2 aufeinanderfolgenden Contouren C liegen. Selbst bei dieser 
Zusammenfassung ist die absolute Convergenz noch nicht erwiesen. 
