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PROFESSEUR H. POINCARE STIR LA STABILITE DE 
figures pyriforiues. Nous aurons ime figure de lufurcation qui appartiendra a la fois 
aux deux series, et que nous appellerons le Jacobien critique. 
Les figures pyrifoi’iues n’adiuetteut .pas le plan des xij pour plan de symetrie; on 
doit done regarder conuue distinctes deux de ces figures, symetriques rune de Tautre 
])ar rapport a ce j^lau. De sorte que les figures de la serie pyriforme sont symetriques 
deux a deux, a I’exceptioii Ifieu eiitendu dii Jacobien critique, qui admet le plan des xij 
pour plan de symetrie. 11 est clair (jue pour deux figures symetriques les valeurs 
de ctj, de et de U sont les memes. 
L’ensemble des deux series j^eut etre represente schematitpiement par une droite 
representant les ellipsoides de Jacobi, et jDar une courbe ayant cette droite pour axe de 
symetrie, et representant les figures pyriforiues. Le point d’intersection de la droite 
et de la courlie represente alors le Jacobien critique, et deux points symetric[ues de la 
courbe representent deux figures symetriques. 
Cela pose, si nous suivons la s6rie des Jacobiens en allant du moins allonge an plus 
allonge, nous savons que o va en decroissant, tandis que ojJ = g va en croissant. 
Si nous suivons la serie pyriforme, il est evident que quand nous atteindrons le 
Jacobien critique, w atteindra, soit un minimum, soit un maximum, et il en est de 
meme de coJ. 
Si nous adoptons le premier critere de la stabilite fonde sur les minima de la 
fonction U + le principe de I’echange des stabilites entendu comme il dolt I’etre, 
nous enseioue ceci. 
O 
La condition necessaire et suffisante jiour la stabilite sdculaire, si Ton supposait la 
masse entrainee par la rotation d’un axe fixe comme dans les experiences de Plateau, 
serait que o soit maximum, c’est-ii-dire plus grand pour le Jacobien critique que pour 
les autres figures pyriformes. 
Si oi est maximum, on aurait pour une valeur donnee de co superieure au maximum 
une seule figure d’equilibre, un Jacobien stable; pour une valeur donnee de o> 
inferieure au maximum on en aura trois, un Jacobien instable et deux figures 
pyriformes stables. 
Si au contraire oj est minimum, on aurait pour une valeur donnee de w superieure 
au minimum trois figures d’e(}uili])re, deux pyriformes et instables, et une ellipsoidale 
et stable ; pour une valeur inferieure au minimum on n’aurait plus qu’une figure 
dfiquilibre ellipsoidale et instable. 
Si maintenant nous supposons la masse isolee dans I’espace, la condition reste 
suffisante, mais elle n’est plus necessaire. Pour avoir une condition necessaire et 
o 
suffisante, il faut avoir recours au second critere fonde sur les minima de U — '^y 
Le principe de fechange des stabilites nous apprend alors que la condition necessaire 
et suffisante de la stabilite seculaire, e’est que w J soit minimum, e’est-a-dire, plus 
petit pour le Jacobien critique que pour les autres figures pyriformes. 
Si o) J est minimum on aura pour une valeur donnee de loJ 
