Über die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreductibeler Gleichungen. 153 
„ , . tatt der Ausdrücke unter dem Functionszeiehen £ ihre Werthe, und bedenkt, dass jGW, = ß, 
sein müsse, so erhält mau £ (ß 2 ß 3 • • • ß. ßi) = Würde man statt GV t in die obige Gleichung 
n*V. eingesetzt haben, so würde man £ (ßs ß* • • • ß. ßi ßO ~ ® erhalten haben etc. 
& 14 Lehrsatz. Zwischen den Wurzeln einer irreductibelen Gleichung fx = 0 von einem 
1 ‘ e j J ne p r i mza hi ist, kann keine Gleichung des ersten Grades stattenden, deren Coefficienten so 
wie duTvon \fx rational sind — ausser der bekannten Gleichung, dass die Summe der Wurzeln dem nega¬ 
tiven Coefficienten von 1 in fx gleich sei. . 
Beweis. Man denke sich die Wurzeln so geordnet, dass man mit ihnen d.e Substitutionen des vorigen 
Paragraphen vornehmen kann. Bezeichnet man dieselben nun mit ßt, ß* • • • ß. und mit ^ *' e 
und M rationale Zahlen, so sei die vorausgesetzte Gleichung des ersten Grades A, ß, + .4, ß, + A, ?, 
+ . + A ß a _ M = 0. Durch Anwendung des vorigen Paragraphen erhalt man folgende 
n Gleichungen: 
A x ß, + A t ß 2 4- Ä 3 ß, + . 
A t ß, + Ä 2 ß 3 + A s ß* + ■ 
Ai ß a + A 3 ß 4 + A % ß 5 + . 
Al ß n A 2 £ 
Bezeichnet man durch w eine 1 
Gleichungen mit 1, die zweite mit u 
Gleichungen, so erhält man: 
CA + Pa • + ßi •* + ••• 
^iß. + A. ß, = M 
X-iß i + ^ß* = M 
A^ß_ + A m ^i = M 
ig a? — 1 = 0, und 
r ß. »*-*) (.Ai + Ai u>-‘ + A s « 
= Af(l + «> + «>* + ... + «' 
jo—i = 0 sei, so erhalt man folgen« 
cß. + ß 2 co + ß s »• +... ß. ) (Ai + Ai - + 2 ;;.. a. »*)» ö 
CP. + ß a 4- ßa + • • ■ ß. «*~?> & + A * • + * * _. 
(ß t ^ y)"— 1 _|_ ß —-.) _|_ . ß (Ai 4- A t <o 4- As «> 4- • ^ ^ 
«■+*+*+• • •» ca+ * +a + r • ■ • -«* 
Sind nun aber die Coefficienten A t , A 2 , . . . A. mcht sammtlich un e 
ganze Zahl m < w, so kann kein Ausdruck von der Form 
verschwinden, weil bekanntlich die Gleichung 
i +* + *■ + • 
irreductibel ist, wenn n eine Primzahl ist, mithin sämmtliche Wurzeln mit der Gleichung 
gemeinschaftlich haben müsste, wenn jener Ausdruck verschwände, und ^ Gleichungen vei 
A = 4. = A, = . . . = A. ist. Da nun keiner der rechten Factoren m J 
