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K. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
noch leicht abgesehen werden könnte. Figuren haben wir nicht 
beigegeben, da solche sich der Leser leicht selbst wird zeich¬ 
nen können. Sorgfalt aber haben wir auf die Besprechung 
solcher Punkte verwendet, die Missverständnisse verursachen 
können, und auch wirklich schon verursacht haben. 
§ 1. Die Drehungen. 
Wir bezeichnen die rechtwinkligen Cartesischen Coordi- 
naten eines Raumpunktes mit x u x 2 , x'. 3 seien zu¬ 
nächst die Coordinaten desselben Punktes in einem anderen, 
ebenfalls rechtwinkligen Coordinatensystem, das mit dem 
ersten den Anfangspunkt o (origo) gemein haben soll. Dann 
bestehen die bekannten Gleichungen 
x\ = c u X 1 + C J2 #* + «13 #3, 
(1) X 2 - «21 A*1 + 6*22 X-2 + C->3 #3} 
^3 = «31 X t + C 32 #* + « 33 # 3 , 
deren Coefficienten a ik = cos (x\, x k ) die sogenannten neun 
Richtungscosinus bedeuten. Zwischen ihnen bestehen für 
ij k =* 1, 2, 3 die Relationen 
1 = «l.' 2 +«2» 2 + «4a 2 
0 = CuCi k -f- C2i 6*24 + C-Si c sk (l ijn k) 
und zwar ergeben sich diese Beziehungen schon dann, wenn 
man nur verlangt, dass vermöge eines Systems von Glei¬ 
chungen der Form (1) für alle Werthe der Veränderlichen 
np ry* ty* 
*'3 
werden soll. 
( 3 ) 
#V+#'**+= V+#2 2 + # 3 2 
Es folgt dann weiter in bekannter Weise, dass 
1 = «U 2 + «a2 2 + «a3 2 
0 = CuC k \ -|- Ci2 C k 2 -f- CtS c k % (i 4^ k) 
und 
(4) ^ — | «t 1 «22 «33 I — + L 
Wir bezeichnen, wie üblich, das System der Gleichungen 
(l) als eine eigentliche orthogonale Substitution, wenn 
neben den Relationen (2) und (3) zwischen den Coefficienten 
c tk noch die Relation A = 1 stattfindet; als eine uneigent¬ 
liche orthogonale Substitution, wenn A =—1 ist. 
Machen wir, wie im Folgenden geschehen soll, die Annahme, 
