§ 1. Die Drehungen. 
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dass A = -f-1 ist, so sind die beiden betrachteten Coordinaten- 
systeme gleichartig orientirt, d. h. es ist möglich, durch 
eine Bewegung die positiven Richtungen der Axen des ersten 
Systems mit denen des zweiten zur Deckung zu bringen. Es 
ergeben sich dann ferner die Relationen 
c \\ — C 22 c 33 - c 23 c 32<i 
{5) C -23 — ^3 2^31 C \\ 6*32, 
C 32 — C 21 C 13 c n C 23i 
aus denen durch cyclische Vertauschung der Indices noch 
sechs weitere Formeln der Art hervorgehen. 
Wir deuten -nunmehr die Gleichungen (i), indem wir 
unter den Grössen c nach wie vor die Coefficienten einer 
eigentlichen orthogonalen Substitution verstehen, auf eine 
zweite Art: Statt anzunehmen, dass die Grössen x { und x\ 
Coordinaten desselben Punktes in verschiedenen Coordinaten- 
svstemen seien, betrachten wir sie jetzt als Coordinaten ver¬ 
schiedener Punkte in demselben Coordinatensvstem. Die For- 
%) 
mein (1) stellen dann eine sogenannte T ransformation des 
Raumes dar, eine Zuordnung *S, die aus jedem Punkt x(x^as^x^ 
einen bestimmten anderen Punkt x'(x\, x'%, x' 3 ) hervorgehen 
lässt. Wir wollen diese Beziehung durch die Bezeichnung 
x { £ j x* 
andeuten. Diese Zuordnung ist nun offenbar nichts Anderes 
als eine Bewegung, "wie sie durch einen starren Körper 
vermittelt wird, der unter Festhaltung des Anfangspunktes o 
der Coordinaten aus einer ersten Lage in eine zweite ge¬ 
bracht wird: x t und x\ sind jetzt die Coordinaten eines und 
desselben Punktes im Körper vor und nach Ausführung der 
Bewegung. Jede eigentliche orthogonale Substitution, oder, 
wie wir nun lieber sagen werden, jede eigentliche orthogo¬ 
nale Transformation, stellt also eine solche Bewegung 
dar, und umgekehrt kann man, wenn das Coordinatensvstem 
im Raume fest gegeben ist, jede Bewegung, die den Punkt o 
in Ruhe lässt, durch eine solche orthogonale Transformation 
analytisch ausdrücken. 
Satz 1. Jede Bewegung eines starren Körpers , bei der ein 
Punkt o des Raumes in Ruhe bleibt , ist eine Drehung um eine 
kJ 
durch diesen Punkt gehende Axe. 
