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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
In der That, soll ausser dem Anfangspunkte o noch ein 
zweiter Punkt x u # 2 , x 3 bei der Transformation (1) in Ruhe 
bleiben, so müssen dessen Coordinaten den Gleichungen 
genügen 
(c n — 1)#J + Cl2 X 2 + Cj 3 X 3 = 0 
C 21 ~t~ ( c 22 — 1)^2+ c 23 ^3 = 0 
C 3l ~p C 32 <^2 + ( 6 33 — I) ^ 3 ~ d. 
Diese Gleichungen sind aber zufolge der Relationen (5) wirk¬ 
lich mit einander verträglich; denn entwickelt man ihre De¬ 
terminante, so findet sich, nach (5) 
— I + P11 + C22 + C33)—(pn -p C22 -p C33) -p 1 = 0. 
Für die Richtungscosinus der Drehungsaxe, die sich verhal¬ 
ten wie x l : x 2 :# 3 , ergeben sich daraus die Gleichungen 
(6) cosXj : cos^ 2 : cos ^3 = 
— 1 ~P Cu C 22 C33 : C 1 2 ~p ('21 • <?31 ~p ^3 == 
= C12 + C21 : 1+c 2 2 — C33 — : C23+C32 = 
. 
= C 31 + c 13 : r 2S -p C32: 1 -p C33 — c n — c 22 : 
Jeder Punkt, dessen Coordinaten sich verhalten, wie diese 
Grössen, wird bei der angenommenen Bewegung in Ruhe 
bleiben. Eine unbestimmte Drehungsaxe kann sich offenbar 
nur dann einstellen, wenn die betrachtete orthogonale Trans¬ 
formation sich auf die sogenannte identische Transfor¬ 
mation 
x\ = x i , x‘ 2 = x 2 , x' 3 = x 3 
reducirt, die alle Punkte des Raumes in Ruhe lässt. 
Die Frage nach der Bestimmung des Drehungswinkels, 
der zu der orthogonalen Transformation oder Drehung (1) 
gehört, lassen wir vorläufig auf sich beruhen, und ebenso 
die andere nach den Werthen der Coefficienten c il{) die zu 
gegebener Drehungsaxe und gegebenem Drehungswinkel ge¬ 
hören. Doch wollen wir hier schon eine Art von Drehungen 
betrachten, die für die allgemeine Theorie von besonderer 
Bedeutung sind. 
Wir bezeichnen als Umwendung eine sogenannte in- 
volutorische Drehung, d. h. eine Drehung von der Periode zwei, 
oder eine Drehung um den Winkel t:. Eine solche besondere 
Drehung ist durch ihre Axe allein schon bestimmt. Seien nun 
