^ 1. Die Drehungen. 
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cos)^, cos), 2 , cos ),3 die Ricktungscosinus der Axe, und seien x 
und x‘ einander entsprechende Punkte, sei ferner 5s» $ 3 ) 
der auf der Axe gelegene Punkt, der die Sehne xx‘ halbirt, sei 
endlich d der Abstand dieses Punktes vom Anfangspunkt der 
Coordinaten, gemessen in dem durch die Werthe cos),,- be¬ 
stimmten positiven Sinn der Axe, so ist 
Xi + x‘i — 2c, — 2d. cos \ (i = 1, 2, 3), 
und d = a’j cos),! + x 2 cos ), 2 -f- x 3 cos), 3 , 
also, da cos 2 ),i + cos 2 ), 2 -j- cos 2 ), 3 = 1 , 
(7) x\ = (cos 2 ),j — cos 2 ),* — C 0 S 2 ), 3 )^j -f- 
+ 2 cos),j cos), 2 . x<i + 2 cos),! cos), 3 . a 3 , 
u. s. w. 
Es wird also jede Umwendung durch eine sogenannte 
symmetrische orthogonale Transformation ausgedrückt, eine 
solche, deren Coefficienten den Gleichungen c,* = c ki genügen. 
Der umgekehrte Satz gilt aber nicht; denn es genügt auch 
die identische Transformation (übrigens aber sonst keine an¬ 
dere) diesen Gleichungen. 
Die eben betrachteten Umwendungen sind von Bedeu¬ 
tung wegen des folgenden Satzes: 
Satz 2. Jede Drehung (eines starren Körpers) um einen 
festen Punkt kann durch die Aufeinanderfolge zweier Umwen¬ 
dungen ersetzt werden. Die Axen dieser Umwend,urigen sind 
senkrecht zur Drehungsaxe, und scldiessen den halben Drehungs¬ 
winkel -0- ein. 
Wir bezeichnen mit {p} die Umwendung um eine durch 
den Anfangspunkt der Coordinaten 0 gelegte Gerade g, und 
setzen 
s = {?! i /l !i 
um die Transformation S zu bezeichnen, die durch die Auf¬ 
einanderfolge der Umwendungen \g j, { h } entsteht. Seien nun 
zuerst die Geraden g , h willkürlich gegeben, so ist S sicher 
eine Drehung, und zwar eine solche, die die Ebene <0 durch 
g und h in Ruhe lässt. Die Normale dieser Ebene im Punkt 
0 bleibt dabei offenbar Punkt für Punkt in Ruhe; sie ist 
also die Drehungsaxe. g bleibt bei der Umwendung { g\ in 
Ruhe, durch { h ) aber wird g übergeführt in das Spiegelbild 
g‘ von g in Bezug auf li\ der Drohungswinkel (^, g') ist also 
