6 
E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
das Doppelte des Winkels fr, den g und li einschliessen. Ist T 
wie im Satze verlangt, umgekehrt die Drehung & gegeben, 
so kann man g in der zur Drehungsaxe senkrechten Ebene 
oj des Punktes o beliebig annehmen. Man kann dann leicht 
die zugehörige Gerade h bestimmen: Ist S keine Umwendung, 
so nehme man auf g einen Punkte an, und suche den durch 
x{S) x J bestimmten Punkt .P: die Gerade h halbirt dann, in 
einem Punkte c, die Sehne xx‘. Ist aber selbst eine Um¬ 
wendung, so steht li in o senkrecht auf g. Ist S die iden¬ 
tische Transformation, so wird die Ebene unbestimmt, und 
g und h sind irgend zwei zusammenfallende Gerade des 
Strahlenbündels o. 
Hierzu müssen wir, um keine Unklarheit auf kommen zu 
lassen, noch eine Erläuterung fügen. Die Winkel in der 
Ebene <o sind, wie bekannt, ihrem Vorzeichen nach erst dann 
bestimmt, wenn über die Richtung der Normale von to, also 
über die Richtung der Drehungsaxe entschieden ist. Ist dies 
geschehen, so sind die Winkel zwischen mit bestimmten 
Richtungen versehenen, sogenannten orientirten Geraden 
bis auf Vielfache von 2 t. bestimmt. Als Richtung von g be¬ 
stimmen wir nun etwa die Richtung vom Anfangspunkt nach 
dem angenommenen Punkt x hin; dann hat auch die Gerade 
g‘ eine bestimmte Richtung, nämlich die nach .P hin. Der 
Drehungswinkel 2 fr ist nun der Winkel, um den man g 
im positiven Sinne drehen muss, bis x mit x‘ zusammenfällt, 
vermehrt oder vermindert um ein beliebiges Vielfaches von 
2 tt. Der halbe Drehungswinkel ist also h, vermehrt oder 
vermindert um irgend ein Vielfaches von -, nicht 2~: Ist, 
wie angegeben, über die positiven Richtungen von g und g‘ 
verfügt, so ist die positive Richtung von h noch beliebig. 
In der That erfolgt die Bezeichnung bestimmter Rich¬ 
tungen auf g und g' durch eine und dieselbe Quadratwurzel 
y.V+aV 2 -\-x - d 2 Yx \' 2 -}- x'/ + .PU, 
während man zur Auszeichnung einer Richtung auf der Ge¬ 
raden h, oder zur Auffindung der Richtungscosinus dieser Ge¬ 
raden eine andere Wurzel, nämlich etwa 
Vci ä + 
(2c i = Xi + x'i) ausziehen muss. 
