§ 1. Die Drehungen. 
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Wir werden erst später dazu übergehen, die im Satze 2 
angegebene Zerlegung einer Drehung S auch analytisch aus¬ 
zudrücken. Hier wollen wir noch zeigen, wie man diesen 
Satz dazu verwenden kann, zwei oder mehrere Drehungen 
geometrisch zusammenzusetzen. Seien also & und S' zwei 
gegebene Drehungen, und soll nach der Drehung S die Dre¬ 
hung »S' ausgeführt werden, so zerlege man S und S' so, dass 
S=~- \g\ \ h\, S' = j h } {k } 
wird, so also, dass die mit h bezeichnete Gerade in die Schnitt¬ 
linie der zu & und S' gehörigen Ebenen w und co' fällt. 
(S. oben.) 
Es ist üblich, die aus S und S' zusammengesetzte Dreh¬ 
ung S" nach Art eines Products durch Nebeneinander¬ 
schreiben der Symbole &, S' zu bezeichnen, wie wir es im 
Falle von Umwendungen \g\ und { h } schon gethan haben. 
Wir haben also 
S"= SS' = \g\ | h] \h \ \k \ = | g j { k): 
denn die mit {A| bezeichnete Umwendung führt, zweimal 
hinter einander angewendet, zur identischen Transformation. 
Ob man, wie hier, erst S und dann S' ausführt, oder erst S' 
und dann S, das wird für das Resultat nicht gleichgültig sein. 
Wir drücken diese auf der Hand liegende Thatsache aus in 
dem ersten Theil des Satzes: 
Satz 3. Zwei Drehungen S und S' sind im Allgemeinen 
nicht vertauschbar. Aber Drehungen um dieselbe A.ve sind ver¬ 
tauschbar , und ebenso zwei Umwendungen um A.ven , die ein¬ 
ander senkrecht schneiden. 
Im ersten der genannten beiden Fälle ist die Reihenfolge 
der beiden Operationen ganz offenbar gleichgültig, sie ist es 
aber auch im zweiten: Das Resultat ist dann die Umwen¬ 
dung, deren Axe auf den Axen der gegebenen Umwendungen 
senkrecht steht. Es ist, beiläufig bemerkt, nicht schwer zu 
zeigen, dass die genannten Fälle die einzigen sind, in denen 
„Vertauschbarkeit“ zweier Rewegungen eintritt; wir werden 
aber von diesem Satze keinen Gebrauch zu machen haben. 
So übergehen wir auch verschiedene geometrische Folgerun¬ 
gen, die sich an den Satz 2 knüpfen, und fügen nur noch 
einige allgemeine Bemerkungen hinzu. 
