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K. Study: Jjie Hauptsätze der QuaterniouenlJieorie. 
Satz 4. Die Drehungen um einen festen Punkt bilden eine 
Gruppe, das heisst , zwei oder mehrere solcher Drehungen hinter 
einander ausgeführt ergeben immer wieder eine Transformation 
gleicher Eigenschaft , eine Drehung. Diese Gruppe ist dreigliedrig, 
d. Jl ihre allgemeine Transformation hängt von drei willkürliehen 
Grössen, sogenannten Parametern, ab. Sie ist ferner continuir- 
lich, d. h. man kann von jeder ihrer Iransformationen continuir- 
lich zu jeder anderen übergehen. Ihre Transformationen lassen 
sich paarweise als „ Entgegengesetzte “ \g\ \h\ und { h } \g\ ein¬ 
ander zuordnen , derart, dass je zwei zusammengehörige Unter 
einander ausgeführt die identische Transformation ergeben. 
Der Inhalt dieses Satzes ist trivial; der Satz verdient 
aber gleichwohl hervorgehoben zu werden, weil eben auf 
diesen Thatsachen ein Theil unserer Folgerungen beruht. 
Als die drei Parameter, von denen im Satze die Rede ist, 
kann man etwa zwei Bestimmungsstücke der Drehungsaxe 
und den Drehungswinkel wählen. Dass die Gruppe conti- 
nuirlich ist, sagt aus, dass man einen starren Körper (von 
dem ein Punkt festgehalten wird) durch eine continuirliche 
Reihe von Zwischenlagen aus jeder Anfangslage in jede End¬ 
lage überführen kann; der letzte Theil des Satzes aber besagt 
nur, dass man diesen Körper auch wieder durch eine 
Drehung — in seine Anfangslage zurückbringen kann. 
Um zwei Drehungen £ und S‘ analytisch zusammenzu¬ 
setzen, drücken wir die erste, mit den Coefficienten c ik) durch 
die Gleichungen (1) aus, die zweite schreiben wir entsprechend, 
bezeichnen aber die unabhängigen Veränderlichen 
x“ = 4G + <G 2 «P2 + c'i.i #s (i = 1, 2, 3). 
Die zusammengesetzte Transformation S" = SS / entsteht dann 
durch Substitution der Werthe der Grössen x\ aus (1): 
x-‘ = cf' xj + c i 2 "x 2 -fc i 3 "x 3 (i = 1, 2, 3) 
wo 
( 8) c tk c ,1 Ci k -j— e j2 e~)]c ^ (b ^ — 15 4 
Natürlich kann man es auch durch Rechnung verificiren, 
dass diese neun Grössen wieder Coefficienten einer eigent¬ 
lichen orthogonalen Transformation sind. Ist c' ik = c ki für 
2 , k = 1, 2, 3, so reducirt sich die zusammengesetzte Trans¬ 
formation auf die identische. Die Entgegengesetzte der 
