§ 1. Die Drehungen. 
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Transformation, deren Coefficienten die Grössen c ik sind, hat 
also die Coefficienten c ki , oder, wie man sich ausdrückt, sie 
geht aus der gegebenen durch Transposition hervor. 
Vir beschliessen diese Darlegungen mit einer Weiter¬ 
bildung der oben an dem Beispiele der Drehungen angeführ¬ 
ten symbolischen Bezeichnung für die Aufeinanderfolge meh¬ 
rerer Transformationen. Diese Bezeichnungsweise führt dahin, 
die durch Wiederholung einer und derselben Transformation 
& entstehenden Transformationen in der Dorm von Potenzen 
zu schreiben: S 2 = SS, S 6 = SSS, u. s. w. Diese Reihe 
kann man nun auch nach rückwärts fortsetzen; man kann 
demnach die identische Transformation durch das Zeichen 
•S' n , oder sogar — symbolisch — durch das Zeichen 1 dar¬ 
stellen: Die identische ist eben die Transformation, die nach 
Art eines Factors anderen hinzugefügt, diese gar nicht ändert. 
Ferner ergiebt sich für die Entgegengesetzte der Transfor¬ 
mation £ das Zeichen *S -1 : Die symbolischen Gleichungen 
SS" 1 = S° - S-'S oder SS-*- = 1 = S~'S 
sagen dann aus, dass diese beiden Transformationen einander 
aufheben. 
Haben wir mehrere Transformationen S a , Sß , £ y , . . . 
hinter einander auszuführen, so können wir in dem „sym¬ 
bolischen Product u S n SßS y .. . auf einander folgende Factoren 
beliebig zusammenfassen. Es gilt allgemein die Regel 
(9) (S a Sß)S y = S a (SßS y ), 
die man als associatives Gesetz der Transformationen be¬ 
zeichnet. Folgen zwei Factoren wie Sj und Sj~ l unmittelbar 
auf einander, so können sie unterdrückt werden: Jede Um¬ 
wendung z. B., die zweimal hinter einander vorkommt, kann 
unterdrückt werden; denn eine Umwendung ist identisch mit 
der ihr entgegengesetzten Transformation. Vertauschen kann 
man dagegen die Factoren eines symbolischen Productes 
S u SßS y ... im Allgemeinen nicht, ohne das Product selbst 
zu ändern. 
Die Entgegengesetzte einer als symbolisches Product ge¬ 
schriebenen Transformation kann leicht bestimmt werden: 
Es ist: 
(10) (S u Sß ... = Sv-RV 1 ... S ß -'S-K 
