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K. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
§ 2 . Die Euler’schen Parameter. 
Nachdem wir in § 1 gesehen haben, dass die neun 
Richtungscosinus c ik sich — natürlich auf mannigfache Weise 
— durch drei von einander unabhängige Grössen müssen 
ausdrücken lassen, versuchen wir jetzt, eine solche Darstel¬ 
lung zu finden. Es ist nun nicht schwer, alle Grössen c lk 
durch geeignete drei unter ihnen selbst, etwa durch die drei 
Grössen c n , c 22 , c 33 auszudrücken, wie von Monge, wahr¬ 
scheinlich aber vorher schon von Euler bemerkt worden ist. 
ln der That haben wir, nach (2) und (3), 
- 1 = ~ V - CV2* - G3 2 , 
1 = <‘l2 2 + C 2'2 2 + 
1 — + C 23 2 ~f ^33 2 i 
also C 23 2 -f 6*32 2 = 1 + 6* n 2 — C 22 2 — c* 33 2 ; 
ferner nach (5) 
2 c 23 Cß2 — — 2 Cjj -j- 2 c. 2 2 C33, 
daher (c 23 -f 6 32 ) 2 = (1 — c n ) 2 — (c 22 — c 38 ) 2 , 
( c 23 — ^32 ) 2 = (1 + C ll) 2 “ ( c 22 + C33) 2 ; 
setzen wir also zur Abkürzung 
4 /? 2 0 = 1 -f- c 11 -|- c 22 -}- 633 , 
( 11 ) 
so folgt 
(12) 
4 wij = 1 “f- C u - C 2 2 C33, 
4 m 2 = 1 Cji -j— c* 22 6*33, 
4m 3 = 1 — c n — c -22 + ^331 
c 23 = 2 (Vw 2 Y m 3 -f- Ym 0 Ym x ) 
c 32 = 2 (Ym 2 Ym 3 — Ym 0 Vm ,). 
Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich dann die 
Werthe der übrigen Coefficienten c ik durch cyclische Vertau¬ 
schung der Indices 1, 2, 3. Allerdings kann dieser Schluss 
nicht ganz ohne Weiteres gemacht werden. Denn es wäre 
denkbar, dass in dem Ausdruck von c 31 z. B. die W urzeln 
mit anderen Vorzeichen zu nehmen wären. Das ist indessen 
nicht der Fall, wie man sich durch Substitution der berech¬ 
neten Werthe in die Formeln (2), (3), (5) überzeugen kann. 
Aus den Formeln (11) und (12) kann man nun eine 
Darstellung der Coefficienten c ik durch drei von einander un- 
