§ 2. Die Euler'sehen Parameter. 
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Die in diesen Formeln enthaltenen Relationen zwischen 
den Grössen a ik sind unmittelbare Folgerungen der Relationen 
(14): Wir können also in der That, wenn die Grössen a 0Ö7 
ctjk oder die Grössen c tk gegeben sind, die Verhältnisse der 
Grössen a,■ auf rationale Weise ermitteln. Diese Ermittelung 
aber ist unter allen Umständen möglich. Denn wenn es 
auch möglich ist, dass alle die Grössen, die in den For¬ 
meln (16) in einer bestimmten Horizontalreihe stehen, gleich¬ 
zeitig verschwinden, so kann es doch nicht Vorkommen, dass 
dies für alle Horizontalreihen zugleich eintritt: Denn dann 
müssten alle Grössen a ik zugleich verschwinden, während 
doch «oo jedenfalls von Null verschieden ist. 
Wir haben hiermit den wichtigen Satz begründet: 
Satz ö. Die Coefficienten c * = a ik : « 00 einer eigentlichen 
orthogonalen Transformation lassen sich , mit Hülfe der Formeln 
(10) rational dar stellen durch vier unabhängige Verhältnissgrössen 
y.j , und diese wieder rational durch die Grössen c ik mit Hülfe 
der Formeln (16). 
Die hiernach der orthogonalen Transformation oder Dreh¬ 
ung eindeutig- umkehrbar zugeordneten Verhältnissgrössen 
y.j heissen nach ihrem Entdecker die Euler'scheu Para¬ 
meter der Transformation oder Drehung. 
Unmittelbar ergeben sich einige Folgerungen. Die Ent¬ 
gegengesetzte der Bewegung mit den Parametern a 0 : c/.ga^a.,, 
also nach § 1, die orthogonale Transformation mit den Coeffi¬ 
cienten c' ik = c ki oder a' 00 = a 00 , a' ik = hat die Parameter 
oo : — y { : — : — a 3 . D i e Um w e n d u nge n sind gekenn¬ 
zeichnet durch das Verschwinden des Parameters a 0 : Die 
Ausdrücke (15) reduciren sich auf die Coefficienten der Glei¬ 
chungen (7), wenn wir 
y. Q — 0, a x = cos'Xj, y . 2 = cosV„ a 3 = cosa ;5 
setzen. Endlich ist die identische Transformation ge¬ 
geben durch die Gleichungen y. A = 0, = 0, a 3 = 0. Der 
letzte Parameter a 0 ist beliebig und kann z. B. gleich Eins 
gesetzt werden. 
Dass es nicht zweckmässig ist, auch im Allgemeinen 
diesen Parameter gleich Eins zu setzen, wie es zuweilen ge¬ 
schieht, ergiebt sich aus dem vorher Gesagten: von anderen 
