§ L)ie Hamilton’sehen Quaternionen. 
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Zwei solche Quaternionen a, ß betrachten wir dann und nur 
dann als einander gleich, wenn ihre entsprechenden Coeffi- 
cienten einander gleich sind; wir schreiben zur Abkürzung 
O 
a — ß, wenn a 0 = ß 0 , a, = ß„ a 2 = ß 2 , 
Unter der Summe a-f- ß zweier Quaternionen 
wir sodann die Quaternion 
a 
«s = ßs- 
, ß verstehen 
(20) a + ß = (a 0 + ßo» y -i + ßi, «2 + ß*, % + ßs), 
und wir bezeichnen demgemäss als „Quaternion Null* 1 
die Quaternion (0, 0, 0, 0): Sie werde durch dasselbe Zeichen 
dargestellt wie die Null im Rechnen mit einzelnen Zahlen: 
(21) 0 = (0, 0, 0, 0). 
Es ist danach a -f- 0 = a, a + ß = ß + a, 
( a + ß) + Y — « + (ß + y) — a + ß + y. 
Addiren wir eine Quaternion oc(m — 1) mal zu sich selbst, 
so entsteht die Quaternion (ma 0 , moc n my. 2 , ?wa 3 ), die wir mit 
ma bezeichnen werden; und indem wir diese Definition des 
„m-fachen“ einer Quaternion auch auf den Fall ausdehnen, wo 
m eine gebrochene oder irrationale positive oder auch negative 
Zahl ist, ergiebt sich die weitere Definitionsgleichung 
( 22 ) mv. = (mo c 0 , wia,, ?na ä , wza 3 ). 
Aus diesen naheliegenden Begriffsbestimmungen folgt nun 
sofort: 
7. Jede Quaternion kann , auf eine einzige Weise , 
dar gestellt werden als eine Summe von Vielfachen der vier spe- 
ciellen Quaternionen 
e<> = (1, 0, 0, 0), 
= ( 0 , 1 , 0 , 0 ), 
(23) 
e 2 = (0, 0, 1, 0), 
= ( 0 , 0 , 0 , 1 ). 
ln der That ist offenbar 
(24) y. = (oc ö , aj, a 2 , a 3 ) =: a 0 £ 0 + + a 2 <? 2 + a 3 « 3 . 
W ir nennen diese Vielfachen, also die Quaternionen 
(*o, 0, 0, 0), (0, y.j , 0, 0) u. s. w. zum Unterschiede von 
den Coelficienten a 0 , x ,, . . . , die nicht selbst Quaternionen, 
sondern einzelne Zahlen sind, die Compononten der Qua- 
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