§ 3. Die Hamilton’sehen Quaternionen. 
21 
Product ßa ein numerisches Vielfaches des Productes aß ist, 
erwähnen wir nur beiläufig. (Vgl. Satz 3 in § 1 .) 
Nachdem wir nunmehr den Begriff der „Multiplication“ 
zweier Quaternionen entwickelt haben, können wir jetzt den 
wesentlichen Inhalt der Sätze 5. und 6 . in folgender Form 
aussprechen: 
Satz 10. Zu jeder von Null verschiedenen Quaternion gehört 
eine bestimmte Drehung , umgekehrt ciher gehören zu jeder Dre¬ 
hung gc Quaternionen, die sich um numerische Dactoren von ein¬ 
ander unterscheiden. 
Drehungen werden dadurch zusammengesetzt, dass man zwei 
der entsprechenden Quaternionen , in der gehörigen Reihenfolge , 
mit einander multiplicirt. 
Zu der identischen Transformation gehören in diesem 
Sinne offenbar die sealaren Quaternionen, und ebenso ge¬ 
hören zu den Umwendungen die Vectoren, und insbesondere 
zu den Umwendungen um die Coordinatenaxen die Einheiten 
«i, ^ 2 , £3 und ihre numerischen Vielfachen. 
V ir hatten nun gesehen, dass die Zusammensetzung der 
Drehungen das in der Formel (S a SfS y = S a {S ß S y ) aus¬ 
gedrückte associative Gesetz befolgt. Ein entsprechender Satz 
gilt für die Multiplication der Quaternionen: 
Satz 11. Die „Multiplication der Quaternionen^ genannte 
Operation befolgt das sogenannte associative Gesetz: 
(35) (aß)y = a (ßy) = aßy. 
Auf Grund des Satzes 8 . genügt es, den Satz 11 . für 
den Fall zu beweisen, dass a, ß, y irgend drei Einheiten 
sind; was natürlich mit Hülfe der Tafel (28) ohne Weiteres 
ausgeführt werden kann. 
Die nunmehr entwickelten Grundbegriffe derQuaternionon- 
theorie setzen uns in den Stand, auch die übrigen in § 1 
dargelegten auf das Rechnen mit Symbolen S bezüglichen 
Regeln auf die Quaternionenrechnung zu übertragen; es er¬ 
geben sich aber dabei einige Abweichungen, die darin ihren 
Grund haben, dass die Zuordnung zwischen Drehungen und 
Quaternionen nicht eindeutig-umkehrbar ist. 
Wir nennen, mit Hamilton, Norm einer Quaternion a. 
den Ausdruck 
(3b) N[ a) = «o 2 + a 1 2 + a 2 2 + Ä 3 2 , 
