22 
E. Study: Eie Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
also die früher (s. Nr. 15) mit a ()0 bezeichnete Grösse. Dann 
kann der Inhalt der Formel (17) in dem folgenden in etwas 
anderer Ausdrucksweise bereits bei Euler vorkommenden 
Satz ausgedrückt werden: 
Satz 12. Die Norm eines Products von Quaternionen ist 
gleich dem Product der Normen der Factoren: 
(37) ' /Y(xx') = A’(x'x) = iV(x). A(x'). 
Da die Norm einer Quaternion die Summe der Quadrate 
der Coefficienten ist, so kann sie nicht verschwinden, ohne 
dass die Quaternion selbst verschwindet. Daraus ergiebt 
sich ein Satz, der übrigens implicite schon in dem Satze 10 
enthalten ist: 
Satz ld. Das Product xx' zweier Quaternionen kann nicht 
verschwinden , ohne dass einer der Factoren verschwindet. 
Wir nennen ferner Conjugirte einer Quaternion 
a = a 0 e 0 -f a, e 1 + x 2 e 2 -f x 3 e 3 
die Quaternion 
(38) a = Oq e 0 — Xj ej — x 2 % — x 3 e 3 , 
oder, in der Bezeichnungsweise Ham ilton’s, die Quaternion 
(39) iCx = Sac — Ix. 
Dann ist die Conjugirte der Conjugirten einer Quaternion 
diese Quaternion selbst, x = x oder KKy. = x. Zu conju¬ 
girten Quaternionen gehören entgegengesetzte Bewegungen 
im Sinne des Satzes 10 (vgl. S. 8,9). Eine scalare (vec- 
torielle) Quaternion ist eine solche, die ihrer conjugirten 
gleich (entgegengesetzt gleich) ist. Das Product einer 
Quaternion und ihrer Conjugirten ist eine scalare Quaternion, 
deren Coefficient die Norm ist: 
(40) xx = xx = N(y).e 0 = A r (x). e Q 
In der Conjugirten einer Quaternion haben wir also ein 
Aequivalent für das in § 1 eingeführte Symbol S~ l . Da 
aber die Beziehung zwischen Drehungen und Quaternionen 
unendlich-vieldeutig ist, so kann eine zweite Zuordnung 
zwischen Quaternionen gefunden werden, die der Beziehung 
zwischen den Symbolen S und *S -1 noch genauer entspricht: 
