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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
hat zur Folge, dass das Product zweier beliebiger Quater- 
nionen nicht nach einer der Moi vre’sehen Formel ähnlichen 
Regel gebildet werden kann. 
Eine geometrische Deutung der Quaternionenreelmung. 
Die im vorigen § entwickelte Theorie ist rein analytisch: 
Sie beruht ausschliesslich auf Eigenschaften der unter (19) 
aufgeführten Formelgruppe. Man kann nun aber fragen, ob 
sich nicht in geeigneten geometrischen Constructionen ein 
anschauliches Aequivalent für die entwickelten Formen finden 
lässt. Das kann geschehen, und zwar auf verschiedene Arten. 
Von diesen Deutungen wollen wir eine, genauer zwei nahe 
unter einander zusammenhängende, hier besprechen, die von 
H amilton selbst herrühren, und die daher in den Lehr¬ 
büchern der Quaternionentheorie allein vorgetragen zu werden 
pflegen. 
Diese Deutungen ergeben sich aus der Thatsaehe, dass 
man jedem, wie wir nun behufs grösserer Deutlichkeit sagen 
wrnllen, arithmetischen Vector 
(0, otj, a 2 , oc 3 ) = aj^ + a 2 « 2 +a 3 « 3 
also jedem System von drei Zahlen oq, a 2 , a 3 einen geome¬ 
trischen Vector, eine Strecke von bestimmter Länge und 
Richtung im Raume eindeutig-umkehrbar zuordnen kann. 
Das genannte Zahlentripel wird versinnlicht durch die gerad¬ 
linige Strecke (radius- vector), die den Anfangspunkt o der 
rechtwinkligen Coordinaten mit dem Punkt x x = a,, x. £ = a 2 , 
Xo = a 0 verbindet. Eine solche Strecke hat, was wohl zu 
beachten ist, an sich weder eine völlig bestimmte Länge, 
noch auch hat ihr geradliniger Träger eine bestimmte Rich¬ 
tung, wiewohl die beiden begrenzenden Punkte eine ganz 
bestimmte Reihenfolge 0, 0, 0; a 1? a 2 , % haben: Die Länge 
der Strecke ist gegeben durch dieQuadratwurzelVap-pa^-Raa?, 
sie ist also zweiwerthig, und eben diese Wurzel entscheidet 
auch über die dem Träger der Strecke beizulegende positive 
Richtung. 
Hiemit kann man nun allerdings zunächst nur vectorielle 
