§ 4. Eine geometrische Deutung der Qualernionenrechnung. 
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Quaternionen, oder die Vectorbestandtheile von Quaternionen 
geometrisch auffassen. Es gilt aber der folgende, ebenfalls 
noch rein algebraische Satz: 
Satz 16. Jede beliebige Quaterniou kann als Product zweier 
Vectoren dargestellt werden , und zwar eine scalare Quaterniou 
auf oo 3 , jede andere Quaterniou aber auf co 2 verschiedene Arten. 
In der That verstehen wir unter ß, v zwei vectorielle 
Quaternionen, und setzen wir versuchsweise a = ßy, d. h. 
nach Nr. 19: 
*0 
= — 
- ß V - 
,^1 il 
_ ft*' _ 
H 2 , 2 
— ft V 
rs i 3 > 
(54) 
*1 
ft v — 
i 3 
r\ 
c* 
4 "* 
-*3 
co. c 
i 
y 2 
— 
K * / 
i^3 
_ 
Hl j 31 
*3 
= 
ßi T 2 ~ 
" ? 2 Tu 
Dann folgt 
(55) 
ßi 
! y ft 
1 y -2 d-2 
-f- 7 -2% 
= 0 
Ti 
+ 
+ a 3 Ts 
=: 0 . 
Die erste der Gleichungen (55) enthält keine Beschrän¬ 
kung für den von drei Constanten ßj,ß 2 , ß 3 abhängigen Yector 
ß, wenn y 0 = (y 0 , 0 , 0 , 0) = x 0 .e 0 ist, und sie enthält eine 
Bedingung in jedem anderen Falle. Ist aber diese Gleichung 
erfüllt, so kann man die Gleichungen (54) nach den Grössen 
Tu Tu Ts au flösen: 
f 
i 
ß“ 1 y 
> 
m) 
Sa 
A'(ß)' 
Die Gleichungen (54) und (55) lassen sich nun leicht 
geometrisch deuten. Die Gleichungen (55) zunächst sagen 
aus, dass beide Vectoren ß und y in der „Ebene der Qu a- 
ternion y“ liegen, d. h. in der Ebene co, die im Anfangs¬ 
punkt o der Coordinaten senkrecht zum Vector IV. errichtet 
ist. Dabei ist natürlich als „Ebene“ einer scalaren Quater- 
nion y. 0 e n eine unbestimmte Ebene, nämlich jede beliebige 
Ebene durch den Anfangspunkt anzusehen. Die drei letzten 
Gleichungen unter (54) zeigen sodann, dass der Vectorbestand- 
theil l y der gegebenen Quaternion, getheilt durch zwei, eben 
der Vector ist, durch den man in der analytischen Geometrie 
das durch die beiden Vectoren ß und y begrenzte Dreieck, 
nämlich das Dreieck mit den in der Reihe 
