§ 4. Eine geometrische Deutung der Quaternionenrechnung. 29 
irgend einem Verhältnis m : 1 ändern, wenn man nur gleich¬ 
zeitig den anderen in dem reciproken Verhältnis 1 : m ändert. 
Hiermit haben wir bereits in der Gesammtheit aller zu 
derselben Quaternion a gehörigen Dreiecke 
n n n • ft p, q . 
^7 ^7 W Hl 7 H 2 7 H 3 1 
27 1 3 
eine geometrische Versinnlichung der Quaternionen, die es 
ermöglicht, alle von uns ausgeführten Rechnungen durch 
Constructionen im Raume zu ersetzen. Wir wollen aber 
diesen Gedanken in einer etwas anderen Form ausführen, 
die eine noch anschaulichere Darstellung der Quaternionen 
durch Figuren ermöglicht. 
Wir gelangen dahin, wenn wir neben den Vectoren ß 
und y die zu ihnen reciproken Vectoren betrachten, also die 
Vectoren 
ß—1 
p 
■j 
v -i 
1 
my 1 ~ a'(y)’ 
die, als Strecken im Raume gedeutet, den Vectoren ß und y 
entgegengerichtet sind und die reciproken Längen dieser 
haben. Wir können jetzt die Formeln (54) auch so schreiben: 
X = 
-1 
ß(T~ ] 
— I 
, -rw ') 
Betrachten wir nun zum Beispiel das Vectorenpaar ß -1 , 
17 
so wird, wenn wir die Vectoren ß und y den oben be¬ 
sprochenen Aenderungen unterwerfen, das Dreieck 
0 , 0 , 0 ; - N 
ft ft 0 
Hl H2 H;} . 
i 17 127 
öftt 1 A/ 1 ft V /V / ft 7 
IP) iN (p) iN (p 
in seiner Ebene und zu sich selbst ähnlich bleiben: Aendern 
wir die Längen von ß und y in reciproken Verhältnissen, so 
ändern sich die Längen von ß -1 und y in gleichen Verhält¬ 
nissen. Wir ändern jetzt die Bezeichnung, indem wil¬ 
den bisher durch ß -1 dargestellten Vector nunmehr ß nennen, 
und erhalten so den folgenden Satz: 
Satz 18. Jede beliebige Quaternion a. kann ., je nachdem 
sie skalar ist oder nicht , auf co 3 oder auf 00 2 Arten in der Form 
(59) a «= ß'W 
(oi/^r aift'A i/i (/?)• Form a = ßy~ 1 ) „Quotient“ zweier arith¬ 
metischer Vectoren dargestellt werden. 
