§ 4. Eine geometrische Deutung der Quaternionenrechnung. 3 t 
so sind die positiven Richtungen der Vectoren ß, y, Fa die 
vom Anfangspunkte o der Coordinaten nach den Endpunkten 
dieser Vectoren hin; der "Winkel ^ ist dann völlig bestimmt 
bis auf Vielfache von 2-. 
Durch den Satz 18 ist nun implicite schon ein Aequi- 
v al e n z b egriff zwischen Dreiecken festgesetzt, die ihre eine 
Ecke im Punkte o haben: Wir werden zwei solche Dreiecke 
ß, y als äquivalent, oder wenn wir wollen, als ,,gleich“ an- 
sehen, wenn sie in derselben Ebene io liegen, und wenn sie 
eigentlich-ähnlich sind, d. h. wenn das eine aus dem an¬ 
deren durch eine Drehung um die Normale von co, verbunden 
mit einer im gleichen Verhältnis erfolgenden Streckung 
der beiden Seiten ß, y hervorgeht. Danach wird jede von 
Null verschiedene Quaternion geometrisch versinnlicht durch 
,,ein“ Dreieck; jeder Vector insbesondere durch ein recht¬ 
winkliges Dreieck; jede scalare Quaternion durch „ein“ 
gestrecktes Dreieck, dessen Ecken auf irgend einer Geraden 
durch den Punkt o liegen können; und insbesondere wird 
die Haupteinheit dargestellt durch „ein“ Dreieck, dessen zweite 
Ecke mit der dritten in irgend einem vom Punkte o ver¬ 
schiedenen Punkte zusammenfällt. 
Betrachten wir nunmehr zwei beliebige Quaternionen a 
und a', so ist klar, dass wir die zugehörigen ähnlich-ver¬ 
änderlichen Dreiecke immer so legen können, dass eine be¬ 
liebige (o enthaltende) Seite des ersten Dreiecks zusammenfällt 
mit einer beliebigen Seite des zweiten Dreiecks. Aus dieser 
Bemerkung aberergeben sich sofort geometrische Constructionen 
für Summe und Product zweier Quaternionen, und damit 
geometrische Aequivalente für die sämmtlichen Formeln der 
algebraischen Quaternionentheorie: 
Satz 19, Um zwei Quaternionen a und a' geometrisch zu 
addiren, ertheile man den zugehörigen ähnlich-veränderlichen 
Dreiecken eine solche Lage, dass die erste Seite ß des ersten Drei¬ 
ecks zusammenfällt mit der ersten Seite des zweiten Dreiecks: 
(63) a = ß -1 y, a' = ß -1 ^. 
Die Summe wird dann dargestellt durch ein neues Dreieck , dessen 
erste Seite wiederum ß ist, und dessen zweite Seite y -j- d aus 
