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§ 5. Weitere Erläuterungen. 
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auch diese geometrischen Constructionen an die Spitze stellen, 
und erst nachträglich Coordinaten und die zugehörigen Ein¬ 
heiten einführen. 
Man muss dann damit beginnen, dass man zuerst den 
im vorigen § erklärten Aequivalenzbegriff zwischen eigentlich- 
ähnlichen, einer und derselben Ebene co angehörigen Drei¬ 
ecken aufstellt. Hierauf werden die als „geometrische 
Addition“ und „Multiplication“ solcher Dreiecke zu be¬ 
zeichnenden Verknüpfungen, auf Grund der in den Sätzen 
19. und 20. angegebenen Constructionen zu erklären sein. 
Es muss dann gezeigt werden, dass die „Addition“ dieser 
mit a, ß, y bezeichneten Dreiecke das in der Formel 
(a + ß) -f y = * + (ß + T) =* * + ß + Y 
ausgedrückte sogenannte associative Gesetz befolgt (das com- 
mutative Gesetz a + ß = ß + a ist selbstverständlich); hier¬ 
auf ist zu zeigen, dass die „Multiplication“ das associative 
Gesetz (Nr. 35) ebenfalls befolgt, und dass sie mit der Addition 
durch das distributive Gesetz (Nr. 27) verbunden ist. Es 
findet sich dann, dass man einem jeden bei o rechtwinkligen 
Dreieck einen zu seiner Ebene senkrechten Vector derart 
zuordnen kann, dass die Addition solcher Dreiecke durch 
Addition der zugehörigen Vectoren nach der Parallelogramm- 
construction erfolgt; ferner dass man jedem beliebigen Drei¬ 
eck eine Zahl a 0 und einen Vector zuordnen kann, wiederum 
so, dass bei Addition der Dreiecke die entsprechenden Zahlen 
(arithmetisch) und die zugehörigen Vectoren (geometrisch) 
addirt werden. Schliesslich kommt man zu dem Begriffe der 
Quaternion, als eines Systems von vier Zahlen, indem man 
den Vector nach drei zu einander senkrechten Axen zerlegt. 
Dies war im Wesentlichen der Gedankengang Hamil- 
ton’s. Der Zusammenhang der Quaternionen mit den Dreh¬ 
ungen eines starren Körpers ergiebt sich auf diesem Wege 
erst nachträglich, durch eine Ueberlegung, die wir in § (> 
wiedergeben werden; und in der That scheint auch dieser 
Zusammenhang Hamilton selbst entgangen zu sein. 
Unsere Darstellung der Quaternionontheorie unterscheidet 
sich von der Hamilton’s ausser durch die Art der Her¬ 
leitung noch durch den Gebrauch eines besonderen Zeichens 
