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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
für die Haupteinheit e 0 . Dass sich dieses Zeichen in der 
That entbehren lässt, kann man sofort einsehen. Es fallen 
nämlich die Regeln, nach denen scalare Quaternionen, also 
Quaternionen von der Form me 0 , ne 0 , . . . addirt und multi- 
plicirt werden, völlig zusammen mit den Regeln für die 
Addition und Multiplication einzelner Zahlen m, n, . . . ; 
ausserdem hat die Multiplication einer beliebigen Quaternion 
a mit einer scalaren Quaternion me n dieselbe Wirkung wie 
die Multiplication von oc mit der Zahl m. Es steht uns 
also Nichts im Wege, durch eine besondere Defini¬ 
tion zu bestimmen, dass scalare Quaternionen und einzelne 
Zahlen nicht unterschieden werden sollen, dass also 
1 — e 0 = (1, 0, 0, 0) 
sein soll; damit aber kommt das Zeichen e 0 in Wegfall. Zu 
eben dieser Einsicht führen die geometrischen Ueberlegungen: 
Schreiben wir die Quaternion in der Form a -1 ß, wo a und ß 
Vectoren bedeuten, so liegt es nahe genug, in dem Falle 
wo die Vectoren a und ß derselben Geraden angehören, den 
sogenannten Quotienten a _1 ß der Vectoren a und ß, der in 
diesem Falle von ßa _1 nicht verschieden ist, mit dem Quo¬ 
tienten der Maasszahlen zu identificiren, durch die man die 
Längen der Vectoren a und ß ausdrücken kann. 
Ist hiernach die Gleichsetzung der einzelnen Zahl rn und 
der Quaternion (w, 0, 0, 0) allerdings zulässig, so ist es 
andrerseits doch auch vielleicht nützlich, zu betonen, dass 
diese Gleichsetzung keineswegs nothwendig ist, wie das eben 
unsere Darstellung zeigt, in der wir eine solche Gleichsetzung 
nicht vorgenommen hatten. Es kann nämlich, wie wir hier 
allerdings nicht näher ausführen können, die Quaternionen¬ 
theorie als ein einzelnes Glied aus einer ganzen Kette ähn¬ 
licher Theorieen angesehen werden; und in diesen, die zum 
Theil einen viel allgemeineren Charakter haben, ist es nicht 
immer zulässig, das an Stelle unserer Haupteinheit tretende 
Gebilde mit der Zahl Eins zu identificiren, ja es ist ein 
solches Gebilde gar nicht immer vorhanden. 
Nehmen wir indessen die besprochene Gleichsetzung ein¬ 
mal vor, so zeigt sich ein bemerkenswerther Umstand. Die 
Rechnung mit Quaternionen erweist sich jetzt als eine Er- 
