§ 5. Weitere Erläuterungen. 
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Weiterung des Rechnens mit einzelnen Zahlen: Die Begriffe 
Summe und Product von Quaternionen reduciren sich, für 
den Fall scalarer Quaternionen, auf die ebenso benannten 
Begriffe der elementaren Arithmetik. In demselben Sinne 
aber umfasst die Quaternionenrechnung auch noch die Rech¬ 
nung mit den (gemeinen) complexen Grössen der Form m + m 
oder m + wV — 1: In der That, betrachten wir etwa nur 
Quaternionen von der besonderen Form me Q -{-ne^ so fallen, 
da «,*= — e 01 und also nunmehr = — 1 ist, auch die 
Regeln, nach denen Summe und Product zweier solcher 
Quaternionen gebildet werden, zusammen mit den entsprech¬ 
enden Regeln für die genannten complexen Grössen*) 
Man hat, aus diesem Gesichtspunkt, die Quaternionen 
selbst als „höhere complexe Grössen“ bezeichnet; und sie 
bieten in der That ein instructives Beispiel dafür, dass die 
Betrachtung von derartigen „complexen Grössen“, d. h., von 
von Systemen von mehr als zwei Zahlen m, >*, . . . , die ge¬ 
wissen im Voraus bestimmten Verknüpfungsgesetzen (analog 
der Addition und Multiplication der Quaternionen) unterliegen, 
unter Umständen von Nutzen sein kann. 
Auf den hier besprochenen Umstand, dass nämlich die 
Quaternionenrechnung das Rechnen mit einzelnen Zahlen 
und sogenannten gewöhnlichen complexen Grössen umfasst, 
haben einzelne Mathematiker ein ganz übertriebenes Gewicht 
gelegt. Man hat geradezu geglaubt, in dieser Quaternionen¬ 
rechnung eine principiell neue Rechnungsart, eine andere 
und zwar allgemeinere Art von „Algebra“ (algebra upon 
algebra), einen ausserhalb der „gewöhnlichen“ Algebra ver¬ 
laufenden Kreis von Operationen vor sich zu haben; und diese 
Auflassung hat dann w r eiter zu einer ganz unberechtigten 
Ueberschätzung des Quaternionencalculs **), und in ihrer Rück- 
*) Hamilton bezeichnet geradezu die Einheit mit i (und die 
beiden anderen Einheiten e 2 und e 3 mit j und k). Das empfiehlt sich 
schon deshalb nicht, weil man auch Quaternionen mit complexen Coeffi- 
cienten (von der Form m -f n V—1) betrachtet, und weil das Zeichen i 
seit Gauss allgemein für ~\/—1 gebraucht wird. 
** Es mag gestattet sein, hier ein in seiner Art wohl einzig da¬ 
stehendes Curiosum zu erwähnen: Unlängst ist die Gründung eines 
Vereins zur Förderung der Quaternionentheorio erfolgt. 
