§ 5. Weitere Erläuterungen. 
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man, mit ganz ähnlichem Erfolg, statt von diesen Gleichungen 
(19) auch von anderen Gleichungen verwandter Structur wird 
ausgehen können: Man würde dann zu anderen Arten von 
„Quaternionenrechnung 44 kommen. Dieser Gedanke ist in der 
That ausgeführt worden; es ist aber für Grössenquadrupel, die 
solchen anderen Verknüpfungen unterliegen, nicht mehr das 
Wort „Quaternionen u in Gebrauch: Dieses wird, bis jetzt, 
ausschliesslich für die hier besprochenen Verknüpfungen be¬ 
nutzt; derart also, dass der Begriff eines Zahlenquadrupels 
erst in Verbindung mit den Gleichungen (19) oder mit der 
Multiplicationstafel (28) die „Quaternionen 44 vollständig definirt. 
Wir schreiten nun, nach diesen wohl nicht ganz überflüssi¬ 
gen Abschweifungen, in unserer eigentlichen Darlegung fort. 
Auch wenn man an den Gleichungen (19) festhält, lässt 
sich die Gestalt der von uns entwickelten Theorie noch in 
mannigfacher Weise abändern. Versteht man nämlich unter 
e 'o, e'z irgend vier Quaternio-nen 
e‘i =■= A/o e 0 -j- Vj e i -f- X,- 2 e 2 -j- V 3 
durch die sich die Einheiten e 0 . . . e s selbst linear mit nume¬ 
rischen Coefficienten ausdrücken lassen, so dass etwa, durch 
Auflösung der angeschriebenen Gleichungen 
e * = l J 'io e 'o [ L n e 'i “b [ J u 2 "f" e 's ■ 
gefunden wird, so wird offenbar jede beliebige Quaternion a 
auch durch diese Quaternionen e' t - darstellbar sein: 
a = a' 0 e'o + a'i e\ + y.\ e\ -}- a' 3 e' 3 . # 
Man kann also diese Quaternionen e\ als neue ,,Ein¬ 
heiten“ in die Theorie einführen, an Stelle der von uns 
benutzten Einheiten Da sich die Producte e\e' k durch die 
Producte «,■«?*, diese durch die ursprünglichen Einheiten e h 
und diese wiederum durch die Einheiten e\ ausdrücken 
lassen, so wird dann an Stelle der Tafel (28) eine andere 
„Multiplicationstafel 41 treten, die freilich im Allgemeinen einen 
viel verwickelteren Bau darbieten wird. Man kann aber die 
grosse Willkür, die man in der Wahl der sechzehn Coeffi¬ 
cienten \ k hat, dazu benutzen, diese neue Multiplications¬ 
tafel wiederum zu vereinfachen. Zwei der wichtigsten unter 
den so entstehenden besonderen Multiplicationstafeln wollen 
wir noch kurz besprechen. 
