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K. Study: Die Hauptsätze der Quaternianentheorie. 
Man kann sich zunächst die Frage vorlegen nach allen 
Systemen von vier Einheiten, e' 0 , e' 3 , deren Multi¬ 
plicationsregeln der Form nach identisch sind mit denen der 
von uns benutzten Einheiten e 0) <?,, e s , e 3 , und also durch die 
Gleichungen 
e' 0 e\ = e'ie'o = e' { , et? = — e' Q , 
(67) / / / / / / 
= < 1 , «8^8 = — e\ u. s. w. 
ausgedrückt werden. Die Antwort ist nicht schwer: Man 
findet alle die verlangten Systeme von Einheiten, wenn man 
setzt 
(68) e\ = e 0 , e\ = c ü e t -\-c iz e z (i = 1, 2, 3), 
und unter den Grössen c lk , wie in § 1, dieCoefficienten 
einer eigentlichen orthogonalen Substitution ver¬ 
steht. Die hier vorgenommene Aenderung läuft offenbar, 
geometrisch betrachtet, auf Einführung eines anderen Systems 
rechtwinkliger Coordinaten hinaus; und es ist auch wohl von 
vorn herein deutlich, dass der Uebergang zu einem anderen, 
gleichartig-orientirten Coordinatensvstem (s. § 1) eine Aende¬ 
rung in der Form der von uns entwickelten Theorie nicht 
bewirken kann. 
Um zu dem weiter von uns zu besprechenden System 
von Einheiten zu gelangen, bemerken wir zunächst, dass 
nichts im Wege steht, die in § 3 entwickelte algebraische 
Quaternionentheorie derart zu erweitern, dass man neben 
reellen auch complexe Werthe der mit cn k bezeichneten 
Coefficienten einer Quaternion in Betracht zieht, dass man 
also neben den von uns bisher allein untersuchten reellen 
Quaternionen Quadrupel von vier Grössen m k -\-in k den be¬ 
trachteten Verknüpfungsgesetzeil unterwirft. Dabei verlieren 
freilich einige der von uns aufgestellten Sätze ihre Gültigkeit, 
namentlich der Satz 13, oder es müssen Ausnahmefälle an¬ 
gegeben werden, die bei rellen Werthen der Grössen a, nicht 
auftreten konnten; aber die Gleichungen (19) und die Haupt¬ 
sätze 7, 8, 11, 12 erfahren keine Aenderung. Nunmehr 
werden wir auch für die oben mit \ k bezeichneten Grössen 
complexe Werthe setzen dürfen; insbesondere werden wir 
u. A. die folgenden Quaternionen als neue „Einheiten“ ein¬ 
führen können: 
