£ 5. Weitere Erläuterungen. 
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(69) 
&11 — T (^0 ^2)1 ^12 2 ^ (^3 ^3)5 
&2'2 == ^21 Y ( ^3 ? ^l)i 
so dass umgekehrt 
60 = 6ii-j-<?22i *“ (^12 ~f~ ^21) 1 
(70) .. , 
e 2 — i(e n — £ 22)5 e 3 — e i 2 ^ 2 i 
wird. Berechnen wir nun, mit Hülfe der Tafel (28), die Mul¬ 
tiplicationstafel für diese neuen Einheiten, so findet sich die 
einfache Regel, dass für i\ j, k, l = 1, 2 
( 71 ) e tj ej k = e lk ; — 0 
Drücken wir also die Quaternion a nunmehr durch die 
vier Einheiten e, k aus, 
(72) y. = ^-il e 11 a l2^l2“f~ a 2i e 21-i- a 2J ^22^ 
so werden die Coefficienten a",* 
durch die Formeln gegeben: 
(73) 
a",! = a n a' n -f- a. r2 a' 21 , 
a/'.ji = a 2i a/ n "b a 22 ^215 
des Products aa' nunmehr 
a"j2 — a ll a> 12 "F a -12 ^22 
^ // 22 — a *21 a/ l2 - | - a 22 a/ 22- 
Dieselben Formeln würden wir natürlich auch unmittel¬ 
bar aus den Gleichungen (19) haben ableiten können, wenn 
wir in diese an Stelle der Parameter aa'„ a" t - die neuen 
Parameter a*, a',*, a'7* durch die Gleichungen 
2oq = a n -Fa 2 2, 2 äj — 7(*i2 + a 2i), 
2a 2 = —i(a n — a 2 a), 2a 3 = ai 2 —* 22 , 
2a' 0 = a' n -pa '22 u. s. w. eingeführt hätten. 
Die neue Gestalt (73) des „Multiplicationstheorems“ der 
Quaternionen, zu der wir nunmehr gelangt sind, ist nun be¬ 
sonders bemerkenswert!! nicht allein darum, weil sie formal 
noch etwas einfacher ist als dio ursprüngliche (19), sondern 
namentlich deshalb, weil eben diese Formeln (73) noch bei 
anderen Untersuchungen auftreten. 
Man betrachtet vielfach, besonders in der neueren Functionen¬ 
theorie, sogenannto gebrochene lineare Substitutionen einer 
(reellen oder complexen) Veränderlichen *(, indem man dom 
Wertho *( einen neuen AVerth (' zuordnet durch eine Gleichung 
der Form 
