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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
(75) 
11 C ~\~ a 21 
a 12*C H“ a 22 
wobei, damit die Gleichung (75) nach *( auflösbar sei, ange¬ 
nommen werden muss, dass die Determinante — ^21 ^12 
von Null verschieden ist. Diese Substitutionen oder Trans¬ 
formationen bilden nun eine Gruppe; d. h. führt man 
nach der Substitution (75) eine andere aus, mit neuen vier 
Yerhältnissgrössen <Z ik als Parametern: 
Yn __ a n ^ + « 21 
a/ i2 ^ 4“ 
so erhält man durch Substitution des Werthes (75) von X) 
eine dritte Gleichung derselben Form: 
Yu = a "iiCi + a</ 2 i 
^ Y \_ri " ' 
a 12 ^ a 22 
Die Parameter a"**, bei denen es auch nur auf die Ver¬ 
hältnisse ankommt, lassen sich dann durch die Parameter a Ä 
und a',* ausdriicken; und zwar werden diese Ausdrücke ge¬ 
rade dargestellt durch die Formeln (73). 
Es würde uns hier zu weit führen, wollten wir tiefer 
auf die Bedeutung dieses von Cayley entdeckten Zusammen¬ 
hangs zwischen Quaternionen und linearen Transformationen 
eingehen; wir mögen aber das zuletzt gewonnene Ergeb¬ 
nis in einem Lehrsätze festhalten: 
Satz 22. Aus dem sogenannten Multiplicationstheorem (l9j 
der Quaternionen gehen durch eine lineare Substitution mit com - 
plexen Coefficienten (Nr. 74) hervor die Formeln , die zur Zu¬ 
sammensetzung mehrerer linearer Transformationen einer Ver¬ 
änderlichen dienert. (Nr. 75 und Nr. 73). 
Natürlich sind hiermit auch die Drehungen eines starren 
Körpers um einen festen Punkt 0 mit den linearen Trans¬ 
formationen der Form (75) in Verbindung gebracht: Statt 
durch die Euler’schen Parameter a,• können wir nun die Coeffi¬ 
cienten c ik einer orthogonalen Transformation auch ausdrücken 
durch die Parameter a, Ä . Es ist aber zu bemerken, dass 
wegen des Auftretens imaginärer Coefficienten in den For¬ 
meln (74) reellen Werthen der Grössen c,* nunmehr imagi¬ 
näre Parameter zugeordnet werden, und umgekehrt. 
