^ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
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§ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
Wir waren zu den Formeln (19), dem Multiplications¬ 
theorem der Quaternionen, gekommen durch Zusammen¬ 
setzung zweier durch ihre Euler’schen Parameter dargestell¬ 
ter orthogonaler Transformationen. Man kann aber auch 
umgekehrt, wie zuerst Cayley bemerkt hat, aus der „Multi¬ 
plication“ der Quaternionen wieder die Euler’schen Formeln 
herleiten. Wir wollen auch noch diese Formeln Cayley’s 
hier entwickeln; dabei wollen wir aber den uns ja schon be¬ 
kannten Zusammenhang zwischen den Formeln (15) und (19) 
als ein heuristisches Princip benutzen. Wir gehen dabei 
aus von einer auch sonst vielfach verwendeten Ueberlegung. 
Es sei eine Transformation T der Punkte des Raumes 
gegeben, die irgend einen veränderlich gedachten Punkt x 
in einen neuen Punkt xf überführt: 
x j T] x' 
Es sei ferner S eine zweite Transformation, die den 
Punkten x und x‘ die Punkte y und y‘ zuordnet: 
x J ^ 1 y, x* {S\ y'. 
Dann wird dem Punkte y der Punkt y‘ in einer dritten Irans¬ 
formation entsprechen, die wir mit T' bezeichnen wollen : 
y[T'\y‘. 
Unsere Formeln zeigen nun, wie diese Transformation 
gefunden werden kann: Es ist 
y{S-'\x\T\x'{S)y', 
also 
(76) T = S~ l TS. 
Man bezeichnet diese Transformation T als die „Tr ans¬ 
form irte von T vermöge S“. Damit will man sagen, 
dass die Transformation T selbst als Object der Transfor¬ 
mation S betrachtet und dieser Transformation unterworfen 
wird. 
Wir identificiren nun & mit irgend einer unserer Dreh¬ 
ungen (um den Anfangspunkt o der Coordinaten), T aber 
mit einer Umwendung um eine Gerade durch denselben Punkt. 
Dann ist T* offenbar wieder eine Umwondung, nämlich die 
Umwendung um die Axe, die aus der Axe von T durch die 
