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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
Drehung S hervorgeht. Wir verwenden nun den uns be¬ 
kannten Zusammenhang zwischen Drehungen und Quater- 
nionen: 
x = x 1 e 1 -\- x 2 e 2 -j- x 3 e 3 
sei einer der oo 1 Yectoren, die der Umwendung T zugeordnet 
sind, a aber eine der Quaternionen, die der Drehung £ ent¬ 
sprechen: Dann ist, nach Satz 10, die Quaternion 
(77) X 1 = OL~ l XVL 
sicher wieder ein Vector, dessen Coefficienten x\ r x‘ 2 , x‘ 3 ganze 
lineare Functionen der Grössen x L , x 2 , x 3 sind, und zwar 
gehört dieser Yector zu der Umwendung V (Nr. 76). Aber 
nach Satz 12. ist 
N(x J ) -= N(7~ 1 )N(x) iV(a) = N[x), 
d. h. es ist 
x\ 2 + x'f + Tf = xf x 2 2 + xf. 
Fassen wir also die Grössen x { , x\ nicht mehr nur ais 
Yerhältnissgrössen, als Coordinaten der Umwendungsaxen, 
sondern deren Werthe selbst als Coordinaten zweier Punkte 
auf, die auf diesen Axen liegen, so stellt die Formel (77) eine 
orthogonale Transformation dieser Coordinaten, nämlich eben 
die mit S bezeichnete Drehung vor. Und in der That kann 
man, durch eine ganz mechanisch auszuführende Rechnung, 
mit Hülfe der Tafel (28), also mit Hülfe der Formeln 
GG =r GG> G^ G^ G> {} ~~ I -5 2, 3) 
(78) e 2 e 3 = e h e 3 e x = e 2 , e t e 2 <= e 3 
GG = — e t , e x e 3 — — e 2 , e 2 e x = — e 3 
sich davon überzeugen, dass die Quaternionengleichung (77) 
völlig Dasselbe aussagt, wie die vier Gleichungen (15). 
Satz 23. Mit Hülfe der Quaternionen kann man die ortho¬ 
gonalen Transformationen (1) der Form nach durch die einzige 
Gleichung (77), oder durch die mit dieser äquivalente Gleichung 
(79) N(v)xf — ÖLxot, 
oder endlich , in unentwickelter Gestalt , durch die Gleichung 
(80) atx 4 — xz. 
ausdrücken. 
Der Zusammenhang zwischen den Gleichungen (15) und 
den Gleichungen (19), zu dessen Ableitung wir zuvor einiger 
