§ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
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Rechnung bedurften, wird nunmehr völlig evident: Führen 
wir nach der Transformation «S (Nr. 77) die Transformation 
S l aus: 
ry," , r/ ^ 1 / d /y ^ 
lAj IC/ »Ar ^ 
so erscheint die zusammengesetzte Transformation &" = NS 7 
ohne Weiteres in der Gestalt 
x u = a //— a", 
wo a" = aa', 
Wir schliessen hieran nunmehr die schon in § 2 in 
Aussicht gestellte geometrische Deutung der Parameter die 
natürlich eine Beziehung zu dem benutzten Coordinatensystem 
enthalten muss. Wir stellen zu diesem Zw^eck die Quater- 
nion a als Product zweier Vectoren dar, a —ßy; dann kön¬ 
nen wir, nach den Darlegungen des § 4, ohne Weiteres die 
zu den Vectoren ß und y senkrechte Drehungsaxe und ebenso 
den Drehungswinkel bestimmen. (Vgl. auch die Formeln 
Nr. 6 und Nr. 16): 
Satz 24. Sind cos>^, cos \ 2 , cos"k 3 die Richtungscosinus der 
Drehungsaxe , ist ferner & der halbe Drehungswinkel , und sind 
a, die Kuler sehen Parameter einer Drehung , so besteht zwischen 
diesen Gi'össen die Beziehung: 
(81) 
a 0 : aj : a 2 : a 3 
= — ctg-ü : cosXj : cos^ 2 : cos^ 3 . 
Man kann hiernach, wenn die Drehungsaxe und der nach 
Festsetzung einer positiven Richtung dieser Axe bis auf 
Vielfache von t: bestimmte halbe Drehungswinkel gegeben 
sind, ohne Weiteres die Euler’schen Parameter bestimmen, 
und umgekehrt aus diesen Parametern Drehungsaxe und 
Winkel F: 
(82) ctg 8- = — - cos X. = - v. ** — 
Vx, 2 +a/-t-a 3 2 Va^+a^+a/ 
(t - 1, 2, 3). 
Man kann ferner auch die beiden Versoren finden, die zu 
einer gegebenen Drehung gehören, wenn man bestimmter setzt 
(83) a 0 = — cos&, a, = cosA,sinf)- (i = 1, 2, 3). 
Eine Aenderung von 0- um ein ungerades Vielfaches von 
~ führt hier den noch möglichen Zeichenwechsel der Grössen 
a, herbei. — 
