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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
Wir betrachten nun noch kurz eine etwas allgemeinere 
Classe von Transformationen. Man bezeichnet als Streck¬ 
ung vom Punkte o aus die in rechtwinkligen Coordinaten 
durch die Gleichungen 
i p • (i — 1, 2, 3) 
dargestellte Transformation der Punkte des Raumes, die jede 
Figur in eine zu ihr ähnliche und ähnlich liegende überführt, 
und die insbesondere jeden Radius vector vom Anfangspunkte o 
aus in dem constanten Yerhältniss p: 1 vergrössert. Führen 
wir eine solche Transformation vor oder nach einer Drehung 
um den Punkt o aus, so entsteht, bei veränderlichem p, eine 
Schaar von Transformationen, die in demselben Sinne wie 
die Bewegungen eine Gruppe bilden, deren einzelne Trans¬ 
formation aber nun von vier Parametern abhängt. Diese dem¬ 
nach „viergliedrige“ Gruppe ist, nach der Ausdrucksweise 
der modernen Gruppentheorie, die auch Transformationen mit 
imaginären Coefficienten in den Gleichungen untersucht (also in 
unserem Falle auch imaginäre Werthe des Parameters p zulässt), 
ebenfalls continuirlieh; beschränken wir uns aber, wie wir 
hier thun wollen, auf die Betrachtung von reellen Figuren und 
Transformationen, so zerfällt diese Gruppe in zwei getrennte 
Schaaren von Transformationen, die den positiven und nega¬ 
tiven Werthen des VergrÖsserungsverhältnisses p zugeordnet 
sind. Wir wollen diese beiden Schaaren, zwischen denen ein 
Uebergang nur durch die natürlich auszuschliessenden Werthe 
p = 0 und p = oo hindurch erfolgen könnte, unterscheiden 
als eigentliche und uneigentliche Aehnlichkeits- 
traInformationen mit dem festen Punkte o. Wir be¬ 
merken noch, dass die eigentlichen Aehnlichkeitstransforma- 
tionen dieser Art für sich genommen eine Gruppe bilden, 
und dass man die uneigentlichen erhält, wenn man alle eigent¬ 
lichen mit der einen Transformation .P, = — .r, zusammen¬ 
setzt, der „Spiegelung“ am Anfangspunkte der Coordinaten, 
die jeder Figur eine symmetrisch gleiche und zu ihr ähnlich¬ 
gelegene zuordnet. Es wird also genügen, eigentliche Aehn- 
lichkeitstransformationen zu betrachten. 
Es wird nun ohne Weiteres die Richtigkeit des folgen¬ 
den Satzes einleuchten: 
