§ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
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Satz 25. Die viergliedrige Gruppe der eigentlichen Aehn- 
lichkeitstransformationen mit dem festen Punkte o wird dargestellt 
durch die Quaternionengleichung 
(84) P = owrc, 
und zwar peliören zu jeder dieser Transformationen zwei verschie¬ 
dene Quaternionen a und — a. 
Die Norm (nicht der Tensor) der Quaternion a gieht das zu¬ 
gehörige Vergrösserimgsverhältniss an. 
An Stelle der Gleichungen (83) treten nun natürlich 
Gleichungen der Form 
(85) = — Vp.cosft, a 4 - — Vp. cosa,- .sin ft: 
Der Zerlegung einer der betrachteten Transformationen in 
Streckung und Drehung entspricht die Zerlegung der Quater¬ 
nion y. in Tensor und Versor. Die Zusammensetzung der 
Parameter a„ die nun nicht mehr nur Verhältnissgrössen sind, 
wird nach wie vor bewirkt durch Multiplication der ent¬ 
sprechenden Quaternionen: 
(86) a" = aa'. 
Die hier betrachtete Darstellung und Zusammensetzung 
der Aehnlichkeitstransformationen mit festem Punkt ist schon 
Gauss bekannt gewesen; Gauss nennt diese Transformationen, 
in seinen hinterlassenen Papieren, Mutationen des Raumes. 
Nach einer anderen Richtung hin lassen sich die ange- 
stellten Ueberlegungen wie folgt verallgemeinern. Wir be¬ 
trachten statt der Drehungen eines starren Körpers um den 
Anfangspunkt o der Coordinaten nunmehr eine beliebige Be¬ 
wegung eines solchen Körpers, dargestellt durch Gleichungen 
der Form 
(87 ) a u0 x) = a i0 +a,i x k + a i2 x 2 + a a x s {i = 1,2, 3), 
also durch Gleichungen, die sich von den Gleichungen (1) 
durch das Auftreten der eine Schiebung c, = + c, 0 , 
r,, * !/i + c 2 ) , = Z\ -f- c 3 o darstellenden Zusatzglieder 
0,0 = cvo unterscheiden. Stellt man auch in diesen Gleich- 
a oo 
ungen die Coefficienten a 00 , a n , a l2 . . . a 33 durch die Euler- 
schen Parameter dar, so hat man in deren Verhältnissen und 
in den drei Grössen c 10 , c 2 „, c 30 ein System von sechs un- 
