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E. Study: Die Hauptsätze der Quaterniouenlheorie. 
abhängigen Parametern, durch das sich jede Bewegung eines 
starren Körpers ausdrücken lässt. Setzt man aber zwei solche 
Bewegungen £ und S' zu einer neuen S" = SS' zusammen, 
so erhält man nur ganz unübersichtliche Ausdrücke für die 
Parameter a"„ c" i0 der zusammengesetzten Transformation. 
Man kann daher fragen, ob sich nicht andere Ausdrücke der 
Coefficienten in den Gleichungen (87) durch Parameter finden 
lassen, mit deren Hülfe man, nach Analogie der Formeln (19), 
auch die Zusammensetzung zweier beliebiger Bewegungen 
zu einer dritten auf eine einfache Weise ausführen kann. 
Solche Formeln lassen sich nun aus der Quatcrnionentheorie 
ableiten. 
Wir verstehen unter x und ß zwei Quaternionen, deren 
Coefficienten in der Beziehung 
(Sb) 0 — Xq ßj Ot 1 ß 1 -j- <7-2 ß 2 -j- 7-3 ß 3 
stehen; anders ausgedrückt, wir nehmen an, dass £(aß) = S(ötß) 
verschwindet, oder dass 
(89) aß -j- ßa — 0 = aß -f- ßa 
sein soll; und wir setzen ausserdem voraus, dass die Horm 
der Quaternion a von Null verschieden ist. Bedeutet dann 
x einen Vector, so definirt die Gleichung 
(90) iV(a). x' = xxx — 2 aß 
einen neuen Vector x\ da der Sealartheil von — 2 aß ver¬ 
schwindet; und wenn wir, wie früher, a m = N( a) setzen, so 
wird die Abhängigkeit der Coefficienten x\, x' 2 , x' 3 von x' 
von den Coefficienten x\ 2 , x 3 des Vectors x durch ein 
Gleichungssystem der Form (87) dargestellt. Die Werthe der 
Coefficienten a m a n , n 12 , • • • <%5 sind wiederum gegeben 
durch die Formeln (15); ausserdem aber findet sich 
a io = ^(a^ßo 7-3 ß L> — a t) ßj + a.j ß 0 ), 
(91) a 20 = 2 ( a .3 ß 3 — Xj ß 3 — a 0 ß 2 + a 2 ß 0 ), 
a ao — 2 (xj ß 2 — 7.2 ß 3 — a 0 ß 3 -f- a 3 ß 0 ). 
Umgekehrt kann man aber auch, wenn die sämmtlichen 
Coefficienten a 00 , a ik in den Gleichungen (87) gegeben sind 
— unter Voraussetzung des Bestehens der Relationen (14) — 
die Verhältnisse der acht Parameter a,-, ß t durch rationale 
