§ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
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Operationen berechnen: Man bestimmt zuerst die Verhält¬ 
nisse der vier Parameter a, aus den Gleichungen (16), was, 
wie wir gesehen haben, immer möglich ist. Ertheilt man 
dann den Grössen a,- irgend welche bestimmte Werthe, die 
die gefundenen Verhältnisse haben, so folgt, wenn p einen 
Proportionalitätsfactor bedeutet, 
P • «oo = *o 2 +*i 2 +*2 2 + * 3 2 , 
p . a n = oo 2 —|—otj 2 — a 2 2 -—a 3 2 u. s. w. 
Denselben Factor p muss man dann natürlich auch den 
linken Seiten der Gleichungen (91) hinzufügen : 
(92) 
P«io 
2 (flc*ß 3 — a 3 ß 2 — oc 0 ß 1 -f-a 1 ß 0 ) u. s. f. 
Löst man nun die Gleichungen ( 88 ) und (92) nach den 
Grössen ß,- auf, so findet man, wenn man schliesslich für p 
#(«) 
«00 
wieder den Werth p 
substituirt, 
(93) 
2« 00 • ß 0 = *i«io + a 2«20 + a 3 a 30 , 
2 «oo • ßi = — *o«io + a 3 «2o — **«30, 
2« tl o -ßa “ — * 3 «io — *o «20 + a,a 80 , 
—«00 • i J 3 =a ' I ^2«30 ^i«20 ^0«30* 
Hiermit ist der erste Theil des Satzes begründet: 
Satz 26. Die sechsgliedrige Gruppe aller Bewegungen eines 
starren Körpers wird dar gestellt durch die Quaternionengleichung 
(94) iV(a). x‘ =■ y.xy. 2 aß, 
worin a und ß Quaternionen bedeuten , die in der durch die 
Gleichung (88) oder (89) ausgedrückten Beziehung stehen. 
Die Zusammensetzung zweier nach einander auszuführender 
Bewegungen S (a, ß) und S' (a 7 , ß 7 ) zu einer neuen Bewegung 
SS' = S" (a 77 , ß' 7 ) eifolgt nach der Kegel 
(95) a" = aa', ß" = aß'-j- ßa 7 ; 
d. die Barometer a/', ß," der zusammengesetzten Bewegung 
sind gegeben durch die Gleichungen (19) und die Gleichungen 
u n _ . p / 
i J o a opo 
ft / 
a iPi 
«*ft' 
( 96 ) 
“h ßj“i' — 
ß." = «oßi' + «,ßo' + a,ft' ■ 
"I - ßu a i "4 ßi«' 0 4“ - 
■ a ;iß/ + 
■ ft«,', 
«aßs* 4- 
ßa* 2 % 
u. s. w. 
