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E. Study: Die Hauptsätze der Quaternionentheorie. 
Dass auch der zweite Theil dieses Satzes richtig ist, 
davon kann man sich durch eine ganz einfache Rechnung 
überzeugen, die analog ist der an die Gleichung (79) ge¬ 
knüpften Rechnung. 
Wir verzichten auf eine eingehendere Erörterung dieser 
Eormeln und führen auch eine weitere Anwendung der Qua- 
ternionen nur noch ohne Beweis an. 
Man versteht unter einer orthogonalen Transfor¬ 
mation von n Veränderlichen x 1 . . . x n ein System von 
Gleichungen 
(97) x‘i — 6 *,i X i -j- 6' t 2 X 2 -f" . . • + C( n X ni (4=1... «) 
das nach Analogie der Gleichungen (1) aus jedem Werth¬ 
system (x t . . . x n ) ein anderes (x\ . . . x'J hervorgehen lässt, 
derart, dass 
(98) x\~ -j- . . . “f- = -f-. • • “f - X u , 
für alle Werthsysteme von x^ . . . x H . Diese Transformationen 
zerfallen nun, wie in dem von uns behandelten halle n = 3, 
so auch bei beliebigem n in zwei verschiedene continuirliche 
Schaaren, die man als eigentliche und uneigentliche 
orthogonale Tra nsformation en unterscheidet. Die eigent¬ 
lichen, deren Determinante | c n c 22 . . . c nn | den Werth +1 
hat, bilden, wie sich zeigen lässt, für sich eine continuirliche 
Gruppe, in dem uns geläufigen. Sinn, und sie bilden zu¬ 
sammen mit den uneigentlichen, deren Determinante den 
Werth — 1 hat, ebenfalls eine Gruppe. Die Transformationen 
dieser Gruppe nun werden im Falle n = 4 ebenfalls noch 
von der Quaternionentheorie geliefert. 
Satz 27. Ks mögen A und g zwei Quaternionen bedeuten , 
die in der Beziehung 
A ul 4- ; j. A = 0 = A g -j- g A 
i i i i * i 
stehen (vgl. Nr. 88 , 89), und es sei 
a = 1 + g, p = — ;x, 
so dass N = N (a) = iV(ß). 
Dann können die eine sechsgliedrige continuirliche Gruppe 
bildenden eigentlichen orthogonalen Transformationen der vier 
Veränderlichen x { sämrntlich dar gestellt werden durch die Qua- 
ternionengleichung 
