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§ 6 Quatermonen und orthogonale Transformationen. 
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(99) iV. x‘ = a x ß 
und ebenso die uneig entliehen sämmtlicli durch die Gleichung 
( 100 ) N.x* = a,rß. 
ir überlassen dem Leser die Aufstellung der Formeln 
für die Zusammensetzung der Parameter a t -, ß, und a/, ß/ 
zweier solcher hinter einander ausgefiihrter Transformationen, 
und bemerken nur noch, dass ein Theil vom Inhalte des 
Satzes 27. unmittelbar aus dem Satze 12 . sich ergiebt: Nur 
dass man alle aTorthogonalen Transformationen von vier Ver¬ 
änderlichen durch die Formeln (99) und ( 100 ) darstellen kann, 
bedarf eines besonderen Beweises, der übrigens nicht schwierig 
Lt. Per in der Hauptsache von Caylev angegebene 
Satz 27. hat sein Anwendungsgebiet in der sogenannten 
Nicht-Euclidischen Geometrie, die man nicht mehr zu den 
elementaren Gegenständen wird rechnen können, auf deren 
Behandlung wir uns hier beschränkt haben; wir haben den 
Satz aber der \ ollständigkeit zu Liebe wenigstens anführen 
wollen 
Schliesslich wollen wir fortgeschrittenere Leser noch auf 
eine merkwürdige Verallgemeinerung mehrerer der abgeleite¬ 
ten Sätze hinweisen: R. Lipschitz hat gezeigt, dass man 
auch die orthogonalen Transformationen von u Veränderlichen 
durch Formeln darstellen und zusammensetzen kann, die 
denen der Quaternionentheorie ganz ähnlich sind. (Unter¬ 
suchungen über die Summen von Quadraten, Bonn 1886). 
Pie Quaternionen erscheinen hier als ein einzelnes Glied in 
einer unendlichen Reihe ähnlicher Rechnungsmethoden, denen 
('ine grosse Tragweite innewohnt. 
V egen der Litteratur unseres Gegenstandes verweisen 
wir aut die Artikel I, A, 4 und III, B, 3 der im Erscheinen 
begriffenen mathematischen E ncyclopädie. 
Inhalt. 
1. Pie Drehungen. 
2 . Die Euler’schen Parameter. 
3. Die Hamilton’schen Quaternionen. 
4. Eine geometrische Deutung der Quaternionentheorie. 
§ 5. Weitere Erläuterungen. 
§ 6. Quaternionen und orthogonale Transformationen. 
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