Anatomie und Morphologie. 
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mit AC müssen die Insertionen 1 , 2 .... bis a —1 liegen, also auf 
AC die folgende Insertion a. In gleicher Weise ergibt sich, dass 
die 3 . Insertion auf AC die Nummer a -f- a = 2 a, die 4. die Nummer 
2 a -J- a = 3 a trägt u. s. f. Ebenso wie auf A C die Insertionen 
0 , a, 2 a, 3 a, 4a.... liegen, liegen auf B C die Insertionen 0 , b, 
2 b, 3 b etc. Bedenkt man, dass a auf A C der Schnitt dieser 
Linie mit der ersten b-er Zeile, 2 a der Schnitt von A C mit der 
zweiten b-er Zeile, 3a der Schnitt mit der dritten b-er Zeile, so 
folgt unmittelbar, dass der Schnitt mit der letzten, d. h. mit der 
bten h- er Zeile, also mit B C, die Nummer ab trägt. Allgemeiner 
kann man sagen: Steigt man von irgend einer Insertion n auf einer 
der a-er Zeilen auf, so sind die nächsten Insertionspunkte auf 
dieser a-er Zeile = n + a, n-|- 2 a, n-f-3a etc.; steigt man von 
n aus auf der durch n gehenden b-er Zeile auf, so folgen hinter¬ 
einander die Insertionen n-f-b, n-|- 2 b, n-}-3b etc. auf dieser Zeile. 
Ferner ist klar, dass, wenn die Divergenz zweier aufeinander¬ 
folgender Insertionen, z. B. 0 und 1 bestimmt worden ist, das 
ganze System damit berechnet ist. Yerf. bestimmt nun die Lage 
des Punktes 1 zu dem Punkte 0 . Es sei F der Insertionspunkt 1 . 
Die durch F gehende a-er Zeile schneide BC in H, AB in J. Die 
durch F gehende b-er Zeile schneide AC in G, AB in K. Man 
kann dann auf zwei Wegen mit Hülfe der Zeilensysteme von 0 
nach 1 gelangen, entweder nimmt man den Weg AGF oder den 
Weg BHF. Der Weg AGF gibt nun folgende Abhängigkeit der 
Numerirung: Die Insertionsnummer von G ist auf AC von 0 aus 
gerechnet ein ganzes Vielfaches von a, das Verf. als x.a bezeichnet; 
auf F G ergibt sich von 1 an gerechnet für G die Insertionsnummer 
1 + y b. (In unserer Figur ist x = 4, y = 2 .) Es muss also die 
Gleichung bestehen: 
x a = y b -f- 1 . 
Ist für den Weg BHF die Schrittzahl von B bis H mit £ 
bezeichnet, so trägt H die Insertionsnummer £b. Ist die Schritt¬ 
zahl von F nach H auf der a-er Zeile FH gleich > 7 , dann hat H, 
von F (d. h. Insert. 1 ) aus gerechnet, die Insertionsnummer 1 + >7 a, 
und es muss sein: 
£ b = rj a + 1 . 
Die entwickelten Gleichungen sind die diophantischen 
Gleichungen, auf welche sich alle erörterten Probleme stützen. 
Die Lösung der Gleichungen gründet sich auf Anwendung 
der Kettenbrüche. 
Verwandelt man 
in einen Kettenbruch, 
dessen vorletzter Näherungswerth mit — bezeichnet werde, so ist 
P 
x = + /*-j-bm; ? = +« + am; 
y = T « 4- am ; V = ±ß + bm ; 
wo m jede beliebige ganze Zahl ist. Das obere Zeichen ist zu nehmen 
für den Fall, dass -j- ein paariger, das untere Zeichen, wenn 
