Ludwig, Ueber Variationscurven. 
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Sie folgt auch in den Unterschwankungen der Variation — 
bei den kleinen Sprüngen von einer Fibonaccizahl zur anderen — 
dem allgemeinen Gesetz, das aber in der zuletzt von mir aus¬ 
gesprochenen Form Bestätigung zu finden scheint: Die Inter¬ 
valle der Haupt variationsgipfel werden durch die 
der Neben Variation in dem Näherungsverhältniss 
des goldenen Schnittes ge t heilt*). 
13 21 U 55 
16 
Die Fortsetzung dieser Reihe würde also sein: 
55 63 68 76 89 102 110 123 144 165 178 199 
233 267 288 312 377 **) 
Die Zahl 42 trat als schwacher Nebengipfel bereits in meinen 
Leucanthemum- Curven auf, ebenso kamen die Zahlen 18 und 29 
bei der Auszählung der Blütenköpfe von Senecio , bei Aegopodium , 
Podagraria etc. vor. Vergl. auch in meinen früheren Abhand¬ 
lungen die Curvenmaxima bei Anthemis, Achillea Ptarmica , 
Primula und Papilionaceen ( Medicago , Lotus und Trifolium). 
Natürlich stehen die Nebenzahlen ebenso wie die Fibonacci¬ 
zahlen hier mit der Blattstellung im Zusammenhang. Bei den 
*) Durch die Näherungsbrüche 2:3, 3:5, 5 : 8, 8 : 13, 13 : 21 etc. des 
unendlichen Kettenbruches —- 
1 + 1 __ 
1+1 
1 
**) Die Zahlen 18 29 47 76 123 sind auch die Glieder der Reihe 13 4 
7 11 . . der S ch imp e r - Braun’schen Nebenreihe, die in den Näherungs¬ 
werten des Kettenbruches 1 auftreten. 
1+1 
1+1 
1 
Noch eine andere Eigenschaft der „Nebenzahlen“ möge hervorgehoben 
werden: Sie lassen sich durch Summation je 2er Fibonnaccizahlen darstellen: 
die Dupla nach der Formel 2p Q = p n —2 + pn+i; die Tripla nach der Formel 
3p Q = p n —2 + pn+ 2 ; die letzt genannten Zahlen x = p n + pn+2; also z. B. 
42 = 8 + 34, 39 = 5 + 24, 47 = 13 + 34 etc. 
Da wo die Zahlungen sich auf heterogene Organkreise (Kelch und 
Blütenblätter, Rand und Scheibenblüte etc.) beziehen, kann die Gesammt- 
zählung thatsächlich zwei solch verschiedengliedrige Kreise um¬ 
fassen, in anderen Fällen ist zu berücksichtigen, dass in den von den 
Parastischen gebildeten Differenzparellelograinmen die Ordnung des 
D i a g o na lgl i e d e 3 gleich der Summe der beiden Seiteu- 
g 1 ied er ist. 
