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x {kl' — lk') + y {lh' — hV) + z (hk' — kh') = 0 (2) 
Écrivons en outre l’identité (*) : 
h {kl' — lk') + k {lh' — hV) + l (hk' — kh') = 0 (3) 
Multiplions (2) par k, (3) par y et soustrayons : 
{kx — hy) {kl' — lk') -J- {kz — ly) {lik' — kh') — 0. 
Ou, à cause de (1) : 
kz — ly — kl' — lk' (4). 
On trouverait de même que : 
Ix —hz — lh' — hV. 
Mais cette dernière équation est une conséquence de 
(1) et (4). Nous sommes donc amené à résoudre en 
nombres entiers le système : 
j hy — hx~ hk' — kh' 
\ kz — ly — kl' — 
La première équation est vérifiée 
ses solutions entières sont données ] 
t étant un entier quelconque. 
Pour la seconde équation, on trouve de même : 
z = 
Gomme les deux valeurs d'y ainsi trouvées doivent être 
égales, on fera G = t, et l’on trouve : 
x = h —|— ht 
y ;=:= k —j— kt 
z = V —{— It 
En donnant à t des valeurs entières : 
— n, . — 3 — c 2 — 1 0 1 2 3.n, 
on trouve les faces demandées, qui sont : 
{h 1 — nh t k' — nk, l' — ni) . 
(/< — %h, k'~ 2/c, V — 20, {h' —h, k' — k, V — l), h'k'l\ 
{h'-\-h t fc' + fc, l' + l), ., . {h'-^nh, k' + nk, l' + nl). 
k' + kü 
l'+ IQ 
, 6 étant un entier quelconque. 
lk' 
par 
par 
x = h' 
y — k 
x = h' -{- ht 
y = k' -f- kt 
donc 
(*) Obtenue en écrivant que la face hkl appartient aussi à la zone dont il s'agit. 
