162 MÉMOIRES. 
M. Ribaucour à l'occasion d'un beau Mémoire couronné par 
l'Académie royale de Belgique 1 . 
Nous nous proposons d'appliquer nos formules à l'étude des 
élassoïdes dont toutes les lignes de courbure sont planes. 
Les équations relatives à ces surfaces ont été données, pour 
la première fois, sans démonstration, par M. 0. Bonnet (G. R., 
1855, p. 1058), qui avait antérieurement établi la proposition 
suivante : 
Lorsque les lignes de courbure d'un élassoïde sont planes 
pour un système, elles le sont aussi pour l'autre. 
Il en résulte que les élassoïdes dont les lignes de courbure 
d'un système sont planes, ne sont autres que les surfaces dont 
toutes les lignes de courbure sont planes, et pour lesquelles les 
rayons de courbure principaux vérifient, en chaque point, la 
relation caractéristique 
q u + ç» = . 
Il s'agit de particulariser, à cet effet, les fonctions U et V. Dans 
cette recherche, nous distinguerons deux cas, suivant la nature 
du réseau sphérique. 
33. Élassoïdes ayant pour image sphérique le réseau gé- 
néral de cercles orthogonaux. — En faisant usage des formules 
(20) et (22), l'équation de condition q u + q v = devient, dans 
ce cas : 
l (U' sin hu — U cos hu) -f- (V sin v + V" cos v) cos h ) 
(a) | — (V + V") cos hu + (U' sin hu — U" cos hu) | = . 
f + (V sin v — V cos v) cos k + (U" — U) cos h cos v j 
Cette égalité doit avoir lieu quelles que soient les valeurs des 
variables indépendantes u et v. 
Différentions successivement cette relation , par rapport à u 
et par rapport à v. Il viendra d'abord : 
I (U " ~~ U) sin hu + (U ' — U "') ( cos hu — cos k cos *) 
^ I — (V + V") sin 7m = 0, 
1. Tome XLIV des Mémoires couronnés, publiés par l'Académie 
royale de Belgique, 1881. 
